velikol.ru
1

§17.Определение производной

Определение. Пусть - некоторая величина, которую назовем приращением аргумента. Тогда назовем приращением функции.

Определение. Производной от функции в точке х называется предел

Производная обозначается или , или или

Определение. Если производная конечна, то функция называется дифференцируемой.


§18.Геометрический смысл производной

Теорема. Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой в точке кривой


§19.Производная от постоянной величины

Теорема. Производная от постоянной величины равна нулю. Т.е.


§20.Производная от степенной функции

Теорема.


§21.Производная суммы

Теорема. Если существуют конечные производные функций и , то существует производная суммы (разности) этих функций и


§22.Производная от произведения функций

Теорема. Если существуют конечные производные и то существует производная от произведения этих функций и .


§23.Производная частного

Теорема. Если существуют конечные производные и и , то существует производная от частного этих функций и


§24.Производные от тригонометрических функций

Теорема. Справедливы следующие формулы:




§25.Производная сложной функции

Определение. Если а то называется сложной функцией.

Теорема. Если существуют конечные производные и , то существует производная и


§26.Производная от логарифмической функции

Теорема.


§27.Производная от показательной функции

Теорема.


§28.Производные от обратных тригонометрических функций

Теорема.




§29.Дифференциал

Определение. Дифференциалом функции называется

Теорема. Запись дифференциала не зависит от того, является ли независимым аргументом или функцией от другого аргумента. Это свойство называется инвариантностью первого дифференциала.


§30.Свойства дифференциала функции

Теорема. 1. 2.. 3. 3. 3.


§31.Производные различных порядков.

Определение. Производная от первой производной называется второй производной и обозначается или или Аналогично определяются производные третьего и так далее порядков.


§32.Дифференциалы различных порядков

Определение. Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка и обозначается . Аналогично определяются дифференциалы третьего и т.д. порядков.

Теорема. Если - независимый аргумент, то ...;


§33.Свойства непрерывных функций

Теорема 1(теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и Тогда существует точка такая, что

Теорема 2 (теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на этом отрезке.

Теорема 3 (теорема Ролля). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , дифференцируема в каждой точке интервала и . Тогда существует точка такая, что


§34.Теорема Лагранжа

Теорема . Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда существует точка такая, что


§35.Возрастание (убывание) функции

Определение. Функция называется возрастающей на , если для любых точек , удовлетворяющих ,выполняется неравенство

Определение. Функция называется убывающей на , если для любых точек , удовлетворяющих , выполняется неравенство


§36.Необходимые условия возрастания (убывания) функции

Теорема. Если функция дифференцируема и возрастает (убывает) на , то ()


§37.Достаточные условия возрастания (убывания) функции

Теорема. Если () то возрастает (убывает) на


§38.Правило Лопиталя

Теорема. Если то когда последний предел существует.

Замечания. Аналогичная теорема справедлива для неопределенности


§39.Формулы Тейлора и Маклорена

Теорема (формула Тейлора). Пусть функция раз дифференцируема на отрезке . Тогда

, где

Замечание. Если =0, то соответствующая формула называется формулой Маклорена.

Теорема. Из формулы Маклорена следует:

для всех

для всех

для всех

для всех

для всех


§40.Определение экстремума функции

Определение. Функция имеет экстремум (максимум или минимум) в точке , если является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности точки


§41.Необходимые условия экстремума функции

Определение. Точка называется критической точкой (по первой производной), если производная или не существует.

Теорема. Только критические точки могут быть точками экстремума.

Замечание. Не все критические точки являются точками экстремума.


§42.Достаточные условия экстремума функции

Теорема. Пусть непрерывна в некоторой окрестности точки Тогда, если при переходе через точку производная меняет знак, то функция в точке имеет экстремум. При этом, если меняет знак с минуса на плюс, то в точке минимум. Если меняет знак с плюса на минус, то в точке максимум.

§43.Выпуклость графика функции

Определение. Кривая называется выпуклой «вверх» («вниз») в некотором интервале , если на этом интервале кривая находится «ниже» («выше») (кроме точки ) любой касательной, проведенной в любой точке


§44.Необходимые условия выпуклости

Теорема. Если на функция выпукла «вверх» («вниз») и дважды дифференцируема, то () для всех .


§45.Достаточные условия выпуклости

Теорема. Если () на то на этом интервале функция выпукла «вверх» («вниз»)


§46.Определение точки перегиба

Определение. Точка называется точкой перегиба функции, если при переходе через эту точку функция меняет выпуклость «вверх» на выпуклость «вниз» (или выпуклость «вниз» на выпуклость «вверх»).


§47.Необходимые условия точки перегиба

Определение. Критической точкой (по второй производной) называется точка, в которой вторая производная равна нулю или не существует.

Теорема. Только критические точки могут являться точками перегиба.


§48.Достаточные условия точки перегиба

Теорема. Если при переходе через точку

вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.


§49.Асимптоты

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Теорема. Прямая является вертикальной асимптотой, если

Теорема. Прямая является наклонной асимптотой, если существуют пределы:




§50.План построения графиков

Для построения графика рекомендуется определить:

1)область определения функции;

2)точки разрыва;

3)четность,нечетность функции;

4)периодичность функции:

5)точки пересечения с осями координат;

6)вертикальные асимптоты;

7)наклонные асимптоты;

8)определение экстремумов функции, интервалов возрастания и убывания функции;

9)определение точек перегиба и интервалов выпуклости