velikol.ru
1



§62.Определение первообразной

Определение. Первообразной для функции называется функция такая, что


§63.Определение неопределенного интеграла

Определение. Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом и обозначается

Теорема. Неопределенный интеграл равен

= где любая фиксированная первообразная, а - совокупность всех чисел (констант).


§64.Независимость вида неопределенного

интеграла от выбора аргумента

Теорема. Если а то




§65.Интегрирование разложением

Определение. Интегрирование разложением называется приведение интеграла с помощью формулы

к сумме (разности) более простых интегралов.

Запомните следующие формулы:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.


§566.Метод подстановки в неопределенных интегралах

Определение. Введение новых переменных при вычислении интегралов называется методом подстановки.

Запомните следующие формулы:




§67.Метод интегрирования по частям

Теорема. Если функции дифференцируемы, то


§68.Интегрирование рациональных дробей

Определение. Отношение называется рациональной дробью, если и - многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной. В противном случае она называется неправильной.

Теорема. Для правильной дроби справедлива формула:

+...+


+....


§69.Интегрирование простейших иррациональностей

1. Интеграл dx находится с помощью замены: Замечание. В этом параграфе - рациональная дробь.

2. Интеграл находится подстановкой

3. Интеграл находится подстановкой (соответственно ).


§70.Интегрирование тригонометрических функций

Для интегрирования тригонометрических функций часто помогают следующие формулы:








§71.Неберущиеся интегралы

Определение. Неберущимися интегралами называются такие интегралы, которых нельзя представить в виде комбинации конечного числа известных школьных функций. Например, .


§72.Определение определенного интеграла

Определение. Разделим отрезок на n частей точками В каждом отрезке возьмем произвольную точку . Обозначим Сумма называется интегральной суммой, а ее предел при если он однозначно существует и конечен, называется определенным интегралом:


§73.Основные свойства определенных интегралов

1)=.

  1. =+.

3) =+.

Замечание. Эти формулы справедливы, если интегралы в правых частях существуют и конечны.


§74.Производная по верхнему пределу

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то для всех принадлежащих этому отрезку, справедлива формула =


§75.Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то для нее существует первообразная , при этом

§76.Замена переменных в определенном интеграле

Теорема. Если , , функция определена и непрерывна на отрезке , функции определены и непрерывны на отрезке , то .


§77.Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции дифференцируемы на , то


§78.Определение несобственного интеграла

Определение. Несобственными интегралами называются: 1), если непрерывна на , 2), если непрерывна на и разрывна в точке . Аналогично определяются несобственные интегралы , с разрывом в точке , с разрывом в точке .


§79.Определение сходимости несобственного интеграла

Определение. Если соответствующий предел в §67 существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае он называется расходящимся.


§80.Приближенное вычисление определенного интеграла

Формула трапеций: где . Погрешность формулы трапеции .

Формула Симпсона: ,

где . Погрешность формулы Симпсона .


§81.Вычисление площадей

Определение. Криволинейной трапецией для функции назовем фигуру, ограниченную линиями:

Теорема. Площадь криволинейной трапеции равна .


§82.Вычисление объема тела вращения

Теорема. Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , равен .


§83.Вычисление длины дуги

Теорема. Длина дуги кривой вычисляется