velikol.ru
1


Деление многочленов с остатком

  • Кутищева Н.С.


Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать.

  • Декарт (1596 - 1650).

  • Французский математик, физик, физиолог, философ.



Рассмотрим многочлен вида

  • an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0,

  • где a0, a1,…, an-1, an – данные числа, называемые коэффициентами многочлена.

  • Коэффициент an называют коэффициентом при старшем члене, а коэффициент a0 – свободным членом. Если an ≠ 0, то то многочлен называют многочленом степени n.



Назовите коэффициенты многочлена, свободный член и его степень

  • 5x3 + 4x2 – 2x + 7;

  • 2x4 - 7x3 - 3x2 – x + 3;

  • x5 - 3x3 - 9x2 – 8x - 6;



Нулевой многочлен

  • Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то этот многочлен есть нулевой многочлен (его степень не определятся).

  • Многочлен нулевой степени есть число, отличное от 0.



Пусть даны два многочлена

  • A = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0 , an ≠ 0,

  • B = bm xm + bm-1 xm-1 + … + b1 x + b0 , bm ≠ 0

  • Разделить многочлен А на многочлен В с остатком – значит найти многочлены G и R , такие, что выполняется равенство A=G· B+R, причём либо степень многочлена R меньше степени многочлена B, либо R – нулевой многочлен.

  • G – частное(неполное частное),

  • R – остаток.



Любое число, отличное от нуля, можно рассматривать как делитель любого многочлена.

  • Любое число, отличное от нуля, можно рассматривать как делитель любого многочлена.

  • Например, число 1/3 есть делитель многочлена x2 – 2x + 7, потому что

  • x2 – 2x + 7=1/3(3x2 – 6x + 21)



Деление с остатком многочлена А на многочлен В обычно выполняется уголком



Пример 2

  • Разделить многочлен 5x4 - 3х5+3х-1 на многочлен х+1-х2.

  • Решение. Представив делимое и делитель в каноническом виде, выполним деление «столбиком»:



Итак,



ПРИМЕР 2.

  • Разложить на множители многочлен Р4(х) =5х4+9х3-2х2-4х-8. Решение. Поскольку Р4 (1) = 0, то Р4 (х) делиться на х-1. Найдем частное



Задание на дом

  • П.2.4

  • №2.34 (в)

  • №2.35 (а)