velikol.ru
1

Задание. (в первую очередь требуется продемонстрировать владение исследованием систем дифференциальных уравнений).

  1. Исследовать уравнение а) б)

    1. Найти и построить главные изоклины

    2. Отметить равновесия

    3. Найти собственные вектора и собственные значения, классифицировать и изобразить фазовые портреты в окрестности равновесия, отметить устойчивые и неустойчивые.

    4. Вертикальные и горизонтальные изоклины отметить соответствующей вертикальной и горизонтальной штриховкой

Указание.

      1. Изобразить разным цветом и стилем главные изоклины

        1. Приравнять все правые части 0

        2. Построить изоклины

      2. Решить систему уравнений приравняв правые части к нулю – найти точки равновесия (а геометрически – это точки пересечения изоклин).

      3. Найти коэффициенты линеаризованной системы – для этого (в аналитической форма) вычислить матрицу частных производных от вектор-функции правых частей О.Д.У.

Примечание: получившаяся матрица – это матрица функций.

      1. Т.к. в точках равновесия за отсутствием постоянного слагаемого система приблизительно определяется линейной частью, вычислить записать линеаризованную систему исследовать её на тип равновесия и устойчивость в каждой из найденных точек равновесия.

      2. С этой целью решив в каждой точке характеристические уравнения для матрицы системы найти собственные вектора и с. Значения. Собственные значения помогут классифицировать фазовый потрет. (а собственные вектора, в случае их нахождения, помогут уточнить основные направляющие на нём).

  1. Исследовать на устойчивость

    1. ДО

    2. ОДУ

  2. Исследовать на устойчивость при разных значениях параметра .

  3. Построить в Экселе 2ю степень одномерного дискретного отображения , где , . Отметить (не-) и устойчивые равновесия

    1. Дополнительно Найти в цикл (идеально, .. желательно – указать его точку гиперустойчивости) периода ,

  4. Исследовать систему обыкновенных дифференциальных уравнений: .

  5. Решить уравнение , положив указать решение для данных начальных условий. Указание разделение переменных + разложение дробей должны дать дробнолинейные функции. при интегрировании это даст (в будущем экспоненты) логарифмы

  6. Исследовать модель тьюринга на устойчивость при параметрах

  7. Для системы Чернавского найти все равновесия и исследовать на тип устойчивость) . Построить портрет (использовать изоклины – см. 1е задание).

  8. Найти численно или аналитически бифуркацию в модели обучения/техн. Прогресса М.Капустина % (использовать эксель для построения графика отображения (и/или) для счета траектории).