velikol.ru
1



09.10.12, М.



Лекция № 7 (18.10.11)


2.1.2. Условия параллельности и перпендикулярности

1. Условие компланарности двух плоскостей

Пусть даны две плоскости:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, n1 = {A1; B1; C1} ≠ 0; (1)

A2x + B2y + C2z + D2 = 0, n2 = {A2; B2; C2} ≠ 0. (2)

Когда они компланарны (т. е. параллельны или совпадают)? Очевидно, это будет тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны. Применяя критерий компла­нарности, получаем

Предложение 1. Две плоскости компланарны тогда и только тогда, когда вектор­ное произведение их нормальных векторов равно нулевому вектору:

[n1, n2] = 0.


2. Условие совпадения двух плоскостей

Предложение 2. Плоскости (1) и (2) совпадают тогда и только тогда, когда все че­тыре их коэффициента пропорциональны, т. е. существует такое число λ, что

A2 = λA1, B2 = λB1, C2 = λC1, D2 = λD1. (3)

Доказательство. Пусть условия (3) выполнены. Тогда уравнение второй плоскости может быть записано так:

λA1x + λB1y + λC1z + λD1 = 0.

λ ≠ 0, иначе было бы A2 = B2 = C2 = D2 = 0, что противоречит условию n20. Следова­тельно, последнее уравнение эквивалентно уравнению (1), а это означает, что две плоско­сти совпадают.

Пусть теперь, наоборот, известно, что данные плоскости совпадают. Тогда их нор­мальные векторы коллинеарны, т. е. существует такое число λ такое, что

A2 = λA1, B2 = λB1, C2 = λC1.

Уравнение (2) можно теперь переписать в виде:

λA1x + λB1y + λC1z + D2 = 0.

Умножим уравнение (1) на λ, получим равносильное уравнение первой плоскости (т. к. λ ≠ 0):

λA1x + λB1y + λC1z + λD1 = 0.

Возьмём какую-нибудь точку (x0, y0, z0) из первой (а следовательно, и второй) плоскости и подставим её координаты в последние два уравнения; получим верные равен­ства:

λA1x0 + λB1y0 + λC1z0 + D2 = 0 ;

λA1x0 + λB1y0 + λC1z0 + λD1 = 0.

Вычитая из верхнего нижнее, получим D2 − λD1 = 0, т. е. D2 = λD1, QED.

3. Условие перпендикулярности двух плоскостей

Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы были перпендикулярны.

Предложение 3. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда ска­лярное произведение нормальных векторов равно нулю:

(n1, n2) = 0.


^ 2.1.3. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0,

и точка M0 = (x0, y0, z0). Выведем формулу расстояния от точки до плоскости:



Возьмём произвольную точку Q = (x1, y1, z1), лежащую в данной плоскости. Её ко­ординаты удовлетворяют уравнению плоскости:


Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.

Заметим теперь, что искомое расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора на направление вектора n (здесь мы берём проекцию как числовую величину, а не как вектор). Далее применяем формулу для вычисления проекции:





QED.

Аналогичная формула справедлива для расстояния d от точки M0 = (x0, y0) плоско­сти до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0:




§ 2.2. Прямая линия в пространстве


Прямую линию в трёхмерном пространстве невозможно задать одним линейным уравнением, т. к. это будет уравнение плоскости (за известными исключениями). Однако её можно задать нелинейным уравнением. Например, уравнение

x2 + z2 = 0

задаёт, очевидно, ось ординат. Мы, однако, занимаемся здесь пока исключительно линей­ными уравнениями. Горю помочь нетрудно, если рассмотреть вместо одного уравнения систему линейных уравнений.


^ 2.2.1. Общие уравнения прямой

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:



Обозначим через n1 вектор {A1; B1; C1}, а через n2 вектор {A2; B2; C2}. Потребуем, чтобы векторное произведение [n1, n2] ≠ 0. Тогда и векторы n1 и n2 не будут равны нулю (иначе [n1, n2] = 0). Следовательно, каждое из двух уравнений (4) определяет плоскость, причём эти две плоскости в силу предложения 1 п. 2.1.2 некомпланарны, а значит, пересекаются по некоторой прямой линии.

Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (4) при соблюдении условия [n1, n2] ≠ 0, представляет собой прямую линию, которую мы обозначим через l.

Выберем теперь произвольную точку M0 на этой прямой и через выбранную точку проведём плоскость π, данной прямой перпендикулярную. Будем теперь представлять себе, что векторы n1 и n2 приложены к точке M0. Тогда в силу того, что несущая прямая вектора n1 перпендикулярна первой плоскости из системы (4), а прямая l лежит в этой первой плоскости, вектор n1 перпендикулярен прямой l, а значит, лежит в плоскости π. Аналогично рассуждая, получаем, что и вектор n2 лежит в плоскости π. Рассмотрим те­перь вектор [n1, n2]. Он перпендикулярен векторам n1 и n2; следовательно, он перпендику­лярен плоскости π (векторы n1 и n2 неколлинеарны); значит, этот вектор коллинеарен прямой l.

Определение 1. Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется направляю­щим вектором этой прямой.

Таким образом, мы доказали

Предложение. Система уравнений (4) при условии [n1, n2] ≠ 0 определяет прямую линию, одним из направляющих векторов которой является вектор [n1, n2].

Определение 2. Система уравнений вида (4) называется общими уравнениями пря­мой.


^ 2.2.2. Канонические уравнения

Рассмотрим уравнения вида



и обозначим через l вектор {α; β; γ}, а через M0 точку с координатами (x0; y0; z0).

Теорема. Уравнения (5) при условии l0 определяют в трёхмерном пространстве прямую линию, проходящую через точку M0 = (x0; y0; z0) и имеющую в качестве направ­ляющего вектора l.

Доказательство мы поведём при дополнительном предположении, что все три числа α, β и γ не равны нулю. Обозначим через Γ множество всех тех и только тех точек трёхмерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнениям (5).

Сначала докажем, что уравнения (5) вообще определяют прямую линию. Для этого перепишем их следующим образом:



Теперь умножим первое уравнение на αβ, а второе на βγ. Получим равносильную систему:



Фактически мы получили общие уравнения некоторой прямой. Надобно только прове­рить, что нормальные векторы не коллинеарны. Выпишем эти векторы:

n1 = {β; −α; 0};

n2 = {0; γ; −β}

и вычислим их векторное произведение:

[n1, n2] = {αβ; β2; βγ} = β{α; β; γ}.

Мы получили ненулевой вектор, коллинеарный вектору {α; β; γ}. Следовательно, Γ есть прямая линия, коллинеарная l и, очевидно, проходящая через точку M0 = (x0; y0; z0), QED.