velikol.ru
1

Урок-лекция по теме: «Определенный интеграл». (2 часа)

Тип урока: объяснения нового материала.

Цель урока:

  1. Рассмотреть задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, дать описание математической модели таких задач;

  2. ввести понятие определенного интеграла, рассмотреть два способа его вычисления:

а) используя его геометрический смысл;

б) используя формулу Ньютона-Лейбница.

Ход урока.

Учитель приветствует ребят, проверяет их готовность к уроку.

Ребята, сегодня на уроке мы рассмотрим с вами три интересные задачи, но с начала мы должны познакомиться с новой для вас фигурой. Эта фигура изображена на рис.1. Снизу фигура ограничена осью абсцисс, с боков прямыми х=а и х=b, а сверху графиком функции f непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Скажите, по каким признакам будем определять, является ли фигура криволинейной трапецией или нет?

Выслушивая ответы ребят, учитель вместе с ними выделяет основные признаки криволинейной трапеции: функция, ограничивающая фигуру, должна быть непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b], по бокам фигура ограничена прямыми х = а и х = b, снизу – отрезком [a; b] оси Ох.

Задача 1. В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура, ограниченная осью х, прямыми х = а, х = b (а < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции у=f(x). Требуется вычислить площадь этой фигуры.

Перерисуйте рисунок к себе в тетрадь.

Из геометрии мы знаем формулы для вычисления площади треугольника, некоторых видов четырехугольников, сектора, сегмента. Формулы для вычисления площади нашей фигуры нет. Найдем, используя геометрические соображения, приближенное значение площади. Для этого разобьем отрезок [а;b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей с помощью точек , …, , ,…, . Проведем соответствующие ординаты. Криволинейная трапеция разбилась на n частей – на n узеньких столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [;] . Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(). Площадь прямоугольника равна , где -длина отрезка [;] . Мы получили приближенное значение площади k-го столбика.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (рис.2):



Считаем, что , .Приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Принято считать, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности ():

.

Рассмотрим теперь по учебнику решение задачи о вычислении массы стержня и постараемся выделить приемы которыми пользовались при решении этой задачи и сравнить их с теми приемами которыми пользовались мы в предыдущей задаче.

^ Один из учеников вслух читает по учебнику решение задачи, затем вместе с учителем ребята выделяют этапы решения задачи.

Действительно, мы, как и в первой задаче:

  1. разбивали отрезок [а; b] на n равных частей;

  2. составляли сумму



  1. вычисляли

Постарайтесь теперь без моей помощи разобрать по учебнику решение задачи №3 и проследить, присутствуют ли названные нами этапы в решении этой задачи.

Ребята приходят к выводу, что решение этой задачи проходит по той же схеме.

В трех рассмотренных задачах мы получили следующие ответы:

; ; .

В курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у=f(х) по отрезку [а; b] и обозначают так:

;

читают: интеграл от а до b эф от икс дэ икс. Числа а и b называют пределами интегрирования ( соответственно нижним и верхним)

Вернемся к рассмотренным задачам и запишем полученные результаты следующим образом:

S=;

здесь S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Масса неоднородного стержня с плотностью p(x) вычисляется по формуле

m=.

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v(t), за промежуток времени от t=а до t=b, вычисляется по формуле

s=.

Это еще одно физическое истолкование определенного интеграла.

Теперь, зная геометрический и физический смысл определенного интеграла, давайте попробуем вычислить значения некоторых из них.

Пример 1.

Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислите ;

Рассмотрим функцию у = х на отрезке [0; 2] . Значение будет равно площади треугольника АВО, т. е. = S=

Пример 2.

Вычислить определенный интеграл , пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла.

Рассмотрим функцию у = .

Данная функция определена на отрезке [-2; 2] и принимает неотрицательные значения. Она имеет график – верхнюю половину окружности , а определенный интеграл = S = 2π.


Вернемся к задаче 1 – о вычислении площади криволинейной трапеции. Мы установили, что

S=. (1)

Попробуем решить эту задачу другим способом. Пусть f(x) – возрастающая функция на отрезке [а ;b ] . Выберем между а и b на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию аАМх, обозначим ее площадь через S(x). Каждому х из отрезка [а ;b ] соответствует вполне определенное значение S(x), т.е. u = S(x) можно считать функцией, определенной на отрезке [а ;b], возрастающей и неотрицательной. При х = а, S(x) =0, при х = b трапеция аАМх совпадает с трапецией аАВb, площадь которой надо найти, т.е. S(b) = S.

Для фиксированного значения х имеем: S(x)=S. Дадим аргументу приращение Δх (пусть Δх > 0 ). Для значения р = х +Δх имеем S(x + Δx) = S . Тогда Δu = S(x + Δx) – S(x) = S - площадь узенького столбика хМРр. Учитывая, что y= f(x) – возрастающая, имеем:

f(x)Δx < Δu < f(x+Δx)Δx.

f(x)< < f(x+Δx), т.к. Δх > 0

При Δх → 0, f(x+Δx) → f(x), а тогда =u΄ =S΄(x).

Мы получили, что S΄(x) = f(x), а это значит, что S(x) – первообразная для f(x).

Учитывая основное свойство первообразных, мы любую первообразную функции f можем записать в виде

S(x) = F(x) + C

Вспомним, что S(a) = 0 и S(b) = S. Тогда S(a) = F(a) + C = 0, отсюда С = -F(a).

S = S(b) = F(b) + C; но С = -F(a), тогда S = F(b) – F(a).

Сопоставив этот результат с формулой (1), получим

.

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.

^ Теорема. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула

,

где F(x) – первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона – Лейбница.

Давайте еще раз проанализируем решение задачи 1, которое нас привело к формуле Ньютона – Лейбница и выделим основные этапы решения.

  1. Ввели новую функцию S(x) на [а; b].

  2. Доказали, что, S΄(x) =f(x), используя определение производной.

  3. Записали S(x) через F(x) + C, используя основное свойство первообразной и нашли С.

  4. Нашли S.

Оказалось, что для вычисления площади криволинейной трапеции, надо найти первообразную для функции f(x), ограничивающей эту трапецию на отрезке [a; b], и вычислить ее приращение F(b) – F(a).

Давайте вернемся к примеру 1, в котором вычисляли площадь фигуры используя геометрический смысл интеграла и найдем площадь этой же фигуры с помощью формулы Ньютона-Лейбница, а затем сравним результаты.

^ Ребята вычисляют площадь и убеждаются, что в двух случаях получаются одинаковыми.

Завершая урок, давайте вспомним, с какими новыми понятиями вы сегодня познакомились.

Ребята называют криволинейную трапецию, определенный интеграл.

Как можно найти значение определенного интеграла?

Можно вычислить, опираясь на понятие площади фигуры, можно аналитически, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Где еще можно применить знания об определенном интеграле?

(При решении физических задач.) Мы сегодня получили теоретические знания связанные с понятием определенного интеграла, а на последующих уроках мы будим применять эти знания для решения различного рода задач.