velikol.ru
1 2 ... 24 25









В. Л. Загускин




ПОЛИНОМЫ




Памяти моих учителей
А. М. Лопшица и Л. М. Рыбакова
посвящаю






ПОЛИНОМЫ 1

От автора 8

Цель и основное содержание курса 10

Области применения полиномов 10

Содержание курса 11

Методические основы курса 11

Возможности лаборатории PolyLab 12

Тема 1. Начальные сведения о полиномах 12

Лекция 1. Основные определения 12

Полином 12

Лекция 2. Формы представления полиномов 13

Тема 2. Лаборатория полиномов "PolyLab" 16

Лекция 1. Рабочее поле главного окна 16

Основные элементы 16

Задание полинома 17

Редактирование 17

Информационная поддержка 17

Особенности режима 17

База полиномов Base 18

Регулирование точности расчетов. Rspin 18

Лекция 2. Меню главного окна 18

Сохранение и чтение данных задачи 18

Режимы допустимых коэффициентов полинома 19

Преобразование полинома из одной формы представления в другую 19

Операции с полиномами 19

Вычисление корней полинома 20

Задача устойчивости 21

Вызов графического окна 21

Лекция 3.Графическое окно 21

Графическое окно 21

Режимы отрисовки 21

Редактирование границ рисунка 22

Определение числа корней внутри круга (на комплексной плоскости) 22

Снятие значений в точке 22

Тема 3. Свойства полиномов 22

Лекция 1. Существование корней полинома. Основная теорема алгебры 22

Лемма о старшем члене 22

Лемма о младшем члене 23

Лемма Даламбера о модуле полинома 23

Основная теорема алгебры о существовании корней полинома 24

Лекция 2. Свойства корней полинома 25

Теорема Гаусса о числе корней полинома 25

Связь коэффициентов и корней полинома (формулы Виета) 26

Сумма к-тых степеней корней полинома 26

Необходимое и достаточное условие существования корня кратности r > 1 27

Комплексные корни полинома с вещественными коэффициентами 27

Тема 4. Операции с полиномами 28

Лекция 1. Основные операции с полиномами 28

Введение 28

Замена аргумента 29

Преобразование из канонической формы в форму разложения 31

Умножение на число 32

Приведение и нормировка 33

Сложение и вычитание полиномов 36

Умножение полиномов 36

Метод полоски умножения полиномов 37

Деление нацело 38

Деление с остатком 38

Лекция 2. Схема Горнера 39

Теорема Безу. Экономичный способ вычисления значения полинома 39

Вычисление значения полинома с комплексным аргументом 40

Использование схемы Горнера для преобразования полинома в форму разложения 40

Использование схемы Горнера для преобразования полинома из формы разложения в каноническую форму 41

Использование схемы Горнера для вычисления значений производных полинома 41

Лекция 3. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух полиномов 41

Определение. Последовательность шагов 41

Свойства остатков 41

Использование алгоритма для выделения кратных корней 42

Тема 5. Погрешности вычислений и решение приближенных алгебраических уравнений 43

Лекция 1. Приближенные числа и погрешности вычислений 43

Приближенное число 43

Абсолютная и относительная погрешность 44

Погрешность произведения 45

Погрешность цепочки вычислений 46

Вероятностная оценка погрешности цепочки вычислений 47

Вычислительные ловушки при определении корней квадратного уравнения 48

Лекция 2.Погрешность значения полинома 49

Безусловная погрешность полинома 49

Погрешность округлений полинома при вычислении его значения по схеме Горнера 50

Погрешность вычислений алгоритма Евклида. Отказ работы на многочленах высокой степени 51

Лекция 3. Погрешность корня полинома 51

Погрешность простого корня приближенного полинома 51

Погрешность кратного корня приближенного полинома 52

Сравнение погрешностей для простого и кратного корня приближенного полинома 53

Уточнение понятия близости корня. Полином Уилкинсона 53

Обусловленность приближенного полинома 54

Уточнение понятия корня приближенного полинома 57

Тема 6. Методы определения границ корней 58

Лекция 1. Оценка границ комплексных корней 58

Безавостная область 58

Оценка с использованием наибольшего вещественного корня вспомогательного полинома 58

Оценка с использованием выравнивания степеней аргумента вспомогательного полинома 59

Оценка Вестерфильда 59

Лекция 2. Методы оценки верхней границы положительных вещественных корней 59

Безавостная область 59

Метод Маклорена 60

Критерий Ньютона 60

Тема 7. Графические методы вычисления корней полиномов 61

Лекция 1. Графический метод определения вещественных корней 61

Простые хорошо разделенные вещественные корни 61

Плохо разделенные корни 63

Корень кратности два 65

Корень произвольной кратности 67

Лекция 2. Графический метод определения комплексных корней 68

Простые хорошо разделенные комплексные корни 68

Близкие плохо разделенные комплексные корни 71

Кратные комплексные корни 73

Лекция 3. Графические методы вычисления корней приближенных полиномов 76

Погрешность коэффициентов, потеря вещественных корней 76

Замена аргумента как средство повышения устойчивости полинома к погрешностям коэффициентов 80

Лекция 4. Метод аргумента поиска корней полинома 81

Модуль и аргумент значения полинома 81

Изменение аргумента при движении точки по произвольной кривой 82

Теорема об изменении аргумента полинома 83

Локализация корней полинома с помощью метода аргумента 84

Тема 8. Уточнение корней полинома и делителей полинома 90

Лекция 1. Уточнение корней методом Ньютона. Алгоритм метода 90

Описание одной итерации 90

Итерации и критерий их окончания 91

Лекция 2. Сходимость метода Ньютона 92

Характеристика сходимости 92

Условие сходимости по начальному приближению 92

Условие сходимости по второй производной 92

Лекция 3. Уточнение комплексных корней и их границ методом Ньютона 93

Уточнение комплексных корней 93

Уточнение границ комплексных корней 93

Лекция 4. Метод Берстоу уточнения квадратичного делителя полинома 94

Вводная часть 94

Основная идея метода 94

Коэффициенты линеаризованной системы 95

Свойства метода Берстоу и его применение 96

Лекция 5. Общий случай метода Берстоу 96

Алгоритм метода 96

Сходимость метода Берстоу при наличии кратных корней 97

Тема 9. Численные методы нахождения корней 97

Лекция 1. Вычисление корней уравнений второй и третьей степени 97

Корни квадратного уравнения 97

Корни кубического уравнения 98

Лекция 2. Метод понижения степени полинома 99

Алгоритм 99

Потеря точности при исключении найденного корня 99

Использование параметра Rspin при определении корней 104

Лекция 5. Метод Минимума на сетке (МОG) определения комплексных корней 106

Идея алгоритма 106

Точка локального минимума 106

Точка локального минимума на сетке и корень полинома 107

Выделение лишних корней в окрестности седловой точки методом МОG 108

Другие источники ошибок при определении корней и регулирующий параметр метода 111

Использование нескольких сеток для улучшения разрешающей способности метода 112

Лекция 6. Метод спуска поиска корней полинома 112

Вводная часть 112

Выбор функционала 113

Стратегия последовательного приближения 114

Исследование окрестности седловой точки 114

Нецелесообразность уточнения корней полинома на промежуточных этапах вычислений 115

Одновременное уточнение корней 115

Тема 10. Специальные методы 116

Лекция 1. Итерационный метод решения задачи о расположении корней полинома при решении задачи устойчивости дифференциальных уравнений 116

Постановка задачи устойчивости дифференциального уравнения 116

Описание итерационного процесса 118

Определение числа корней в полуплоскостях 119

Сходимость итераций 119

Влияние погрешностей округления на мнимые корни 120

Другая формулировка задачи устойчивости 122

Лекция 2. Разложение на множители 122

Тема 11. Полиномиальная аппроксимация. 127

AppLab 128

Инструкция пользователю 130

Программная реализация 134

Литература 138




следующая страница >>