velikol.ru
1


§ Кривые второго порядка

  • Кривые второго порядка делятся на

  • 1) вырожденные и 2) невырожденные

  • Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка).

  • Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.


1. Эллипс и окружность

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).

  • Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

  • Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.



Уравнение (1):

  • Уравнение (1):



СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА

  • СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА

  • 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a, y=b.

  • 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).

  • Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью.

  • 3) Из уравнения эллипса получаем:





Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.

  • Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.

  • Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2bмалой осью.

  • Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно.

  • Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.



2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

  • 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид



2. Гипербола

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|).

  • Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы.

  • Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.



Уравнение (2):

  • Уравнение (2):



СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ

  • СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ

  • 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=a.

  • 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).

  • Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.

  • 3) Из уравнения гиперболы получаем:



Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат.

  • Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат.

  • Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные.

  • Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности.

  • Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где





Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.

  • Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы.

  • Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2bмнимой осью.

  • Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно.

  • Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ^ Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.



Замечания.

  • Замечания.

  • 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной.

  • Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.

  •  можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет

  • xy=0,5a2 . (3)

  • Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.



2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид

  • 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид



3. Парабола

  • Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой ℓ.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково.

  • Точку F называют фокусом параболы, прямую ℓ – директрисой.

  • Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым.



  • Уравнение (4): y2 = 2px

  • называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.



СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

  • СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

  • 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.

  • 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).

  • Ось симметрии параболы называют осью параболы.

  • 3) Из уравнения параболы получаем:



СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

  • СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

  • 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0.

  • 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).

  • Ось симметрии параболы называют осью параболы.

  • 3) Из уравнения параболы получаем:



Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,

  • Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,

  • Число p называется параметром параболы.

  • Если Mпроизвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.



Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

  • Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.



Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна ^ Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

  • Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):



4. Координаты точки в разных системах координат

  • Получаем:



5. Общее уравнение кривой второго порядка

  • Рассмотрим уравнение

  • Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (13)

  • С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду:



Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно:

  • Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно:

  • 1) если AC = 0, то кривая является параболой;

  • 2) если AC < 0, то кривая является гиперболой;

  • 3) если AC > 0, A C– эллипсом;

  • 4) если AC > 0, A = C – окружностью.



6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы

  • Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы.

  • ri = | MFi | , di = d(M,ℓi)

  • ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство



7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы

  • Получаем: α = β .С физической точки зрения это означает:

  • 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе.

  • 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса.

  • 3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.



§ Поверхности второго порядка

  • Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2.

  •  в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

  • a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .

  • Поверхности второго порядка делятся на

  • 1) вырожденные и 2) невырожденные

  • Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка).

  • Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.



1. Эллипсоид

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению



Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.

  • Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.

  • Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.



Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.

  • Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.

  • Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде

  • x2 + y2 + z2 = r2,

  • где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы.

  • С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.



2. Гиперболоиды

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению



Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.

  • Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению



Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

  • Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы



3. Конус

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению



Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса.

  • Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса.

  • Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой



4. Параболоиды

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению



Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.

  • Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.

  • Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению



Величины a и b называются параметрами параболоида.

  • Величины a и b называются параметрами параболоида.



5. Цилиндры

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) .

  • Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.



Цилиндр

  • Цилиндр

  • в некоторой декартовой системе координат

  • задается уравнением,

  • в которое не входит одна из координат.

  • Кривая,

  • которую определяет это уравнение

  • в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра;

  • а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.