velikol.ru
1


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский

Томский политехнический университет


Институт природных ресурсов

Кафедра ВМ

РЕФЕРАТ

Тема: «Диаграмма Эйлера-Венна»


Исполнитель: Герасимова Т.О.

Студент группы 2У00

Руководитель: Тарбокова Т. В.


Томск 2011


Содержание


Введение……………………………………………………………….………..3

  1. Из истории…………………………………………………………….….…..4

  2. Диаграмма Эйлера-Венна……………………………………………….…..4

  3. Операции над множествами диаграммы Эйлера-Венна………………….5

  1. Объединение……………………….. ……………………………….……7
  2. Пересечение, дополнение………………….……………………………..7

  3. Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность...………………………….8


  4. Разность……………………………………………………………………8
  5. Симметрическая разность и эквивалентность…………………….…….9


Заключение………………………………………………………………………10

Список литературы…………………………………………………….………..11

Введение

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Круги были изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

^ 1.Из истории

Леонард Эйлер (1707 - 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) —математик, механик, физик. Адъюнкт по физиологии, профессор физики, профессор высшей математики, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать вСанкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1711 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Джон Венн (1834 - 1923), английский логик. Работал в области логики классов, где создал особый графический аппарат (так называемые диаграммы Венна), нашедший применение в логико-математической теории «формальных нейронных сетей». Венну принадлежит обоснование обратных операций в логическом исчислении Дж. Буля. Основной областью интереса Джона была логика, и он опубликовал три работы по этой теме. Это были "Логика случая", в которой вводится интерпретация частоты или частотная теория вероятностей в 1866; "Символьная логика", с которой были введены диаграммы Венна в 1881; "Принципы эмпирической логики"  в 1889, в которой приводятся обоснования обратных операций в булевой логике.

В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые "Письма к немецкой принцессе", написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих "Писем..." Эйлер как раз и рассказывает о своем методе. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 - 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841 - 1902). Этот метод широко используется в книге "Алгебра логики". Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 - 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге "Символическая логика", изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.


^ 2.Диаграмма Эйлера-Венна

Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры. Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии:

^ Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости. Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств и называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Диаграммы Эйлера-Венна заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Основные операции над множествами:

  • Пересечение

  • Объединение

  • Разность


^ 3.Операции над множествами диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.





Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

 






Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

 




Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):






Определение. ^ Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):






Определение. ^ Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

 



Теперь более подробно на примерах.

Пусть дана некоторая совокупность предметов, которую после пересчета можно было бы обозначить как

V = {1, 2, ..., 11}.

Предположим далее, что часть предметов, 1, 2, 4 и 6, имеет круглую форму, а часть — 2, 3, 4, 8 и 9 — окрашена в белый цвет. В этом случае говорят, что множество V имеет два подмножества

A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}

круглых и белых предметов. Можно исходное множество называть фундаментальным, а подмножества A и B – просто множествами.

В результате получим четыре класса элементов:

^ C0 = {5, 7, 10, 11} — элементы не обладают ни одним из названных свойств,

C1 = {1, 6} — элементы обладают только свойством A (круглые),

C2 = {3, 8, 9} — элементы обладают только свойством B (белые),

C3 = {2, 4} — элементы обладают одновременно двумя свойствами A и B.

На рис. 1.1. указанные классы изображены с помощью диаграммы Эйлера — Венна.



Рис. 1.1

Часто диаграммы не имеют всей полноты общности, например та, что изображена на рис. 1.2. На ней уже множество A полностью включено в B. Для такого случая используется специальный символ включения (): A  B = {1, 2, 4}  {1, 2, 3, 4, 6}.

Если одновременно выполняются два условия: A  B и B  A , то A = B, в этом случае говорят, что множества A и B полностью эквивалентны.



Рис. 1.2

После того, как определены четыре класса элементов и даны необходимые сведения о диаграммах Эйлера — Венна, введем операции на множествах. В качестве первой рассмотрим операцию объединения.

a)Объединение



Объединением множеств A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}

назовем множество

A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9},

где  — символ объединения множеств. Таким образом, объединением охватываются три класса элементов — C1C2 и C3, которые на диаграмме (рис. 1.3) заштрихованы.



Рис. 1.3

Логически операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элемент x принадлежит множеству A или множеству B. При этом связка «или» одновременно означает и связку «и». Факт принадлежности элемента x множеству A обозначается как x  A. Поэтому то, что x принадлежит A или/и B, выражается формулой:

x  A  B = (x  A)  (x  B),

где  — символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией.

^

b)Пересечение, дополнение



Пересечением множеств A и B называется множество A  B, содержащее те элементы из A и B, которые входят одновременно в оба множества. Для нашего числового примера будем иметь:

A  B = {1, 2, 4, 6}  {2, 3, 4, 8, 9} = {2, 4} = C3.

Диаграмма Эйлера – Венна для пересечения изображена на рис. 1.4.



Рис. 1.4

То, что x принадлежит одновременно двум множествам A и B можно представить выражением:

x  A  B = (x  A)  (x  B),

где  — символ логической связки «и», которая называется конъюнкцией.


Представим себе операцию, в результате которой окажутся заштрихованными области C1 и C3, образующие множество A (рис. 1.5). Затем еще одну операцию, которая охватит две другие области — C0 и C2, не входящие в A, что обозначается как A (рис.1.6).


Рис. 1.5


Рис. 1.6


Если объединить заштрихованные области на обеих диаграммах, то получим все заштрихованное множество 1; пересечение же A и A даст пустое множество 0, в котором не содержится ни одного элемента:

A  A = 1, A  A = 0.

Множество A дополняет множество A до фундаментального множества V (или 1); отсюда название: дополнительное множество A, или дополнение как операция. Дополнение к логической переменной x, т.е. x (не-x), называется чаще всего отрицанием x.

После введения операций пересечения и дополнения все четыре области Ci на диаграмме Эйлера – Венна можно выразить следующим образом:

C0 = A B,   C1 = A  B,   C2 = A  B,   C3 = A  B.

Путем объединения соответствующих областей Ci можно представить любую множественную операцию, в том числе и само объединение:

A  B = (A  B)  (A  B)  (A  B).

^

c)Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность



На рис. 1.7 и 1.8 приведены диаграммы двух новых операций, которые называются, соответственно, стрелка Пирса и штрих Шеффера. Эти диаграммы дополняют объединение и пересечение до фундаментального множества V.

Рис. 1.7


Рис. 1.8



На множествах эти операции выглядят следующим образом:

A  B = {1, 2, 4, 6}  {2, 3, 4, 8, 9} = {5, 7, 10, 11} = C0,

A  B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} = C0  C1  C2.


d)Разность

Разностью между множествами A и B называется совокупность тех элементов множества A, которые не вошли во множество B:

A – B = {1, 2, 4, 6} – {2, 3, 4, 8, 9} = {1, 6} = C1.

Диаграмма Эйлера — Венна для нее приведена на рис. 1.9.



Рис. 1.9

На диаграмме Эйлера — Венна для импликации (рис. 1.10) показано частичное включение множества A во множество B, которое нужно отличать от полного включения (рис. 1.2).




Рис. 1.10

Если утверждается, что «элементы множества A включены во множество B», то область C3 обязательно должна быть заштрихована, а область C1 с такой же необходимостью должна быть оставлена белой. Относительно областей C0 и C1, находящихся в A, заметим, что мы не имеем права оставлять их белыми, но, мы обязаны все же области, попадающие в A, заштриховать.

^

Е)Симметрическая разность и эквивалентность



Остается привести еще две взаимно дополняющих операции — симметрическую разность и эквивалентность. Симметрическая разность двух множеств A и B есть объединение двух разностей:

A + B = (A – B)  (B – A) = C1  C2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Эквивалентность определяется теми элементами множеств A и B, которые для них являются общими. Однако элементы, не входящие ни в A, ни в B, также считаются эквивалентными:

A ~ B = (A  B)  (A  B) = C0  C3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

На рис. 1.11 и 1.12 показана штриховка диаграмм Эйлера — Венна.


Рис. 1.11


Рис. 1.12


В заключение отметим, что симметрическая разность имеет несколько названий: строгая дизъюнкцияисключающая альтернатива, сумма по модулю два. Эту операцию можно передать словами — «либо А, либо В», т.е. это логическая связка «или», но без включенной в нее связки «и».


Заключение

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Простое построение диаграммы обеспечивает наглядное изображение, представляющее универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры пересекаются в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и соответствуют образному изображению. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств. Это позволяет нам иметь наиболее полное представление о задаче и ее решении. Простота диаграмм Эйлера-Венна позволяет использовать данный прием в таких направлениях, как математика, логика, менеджмент и других прикладных направлениях.


Список литературы


  1. Словарь по логике. — М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС. А.А.Ивин, А.Л.Никифоров. 1997

  2. Weisstein, Eric W. «Диаграмма Венна» (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

  3. http://yandex.ru