velikol.ru
1

ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ОТРЕЗКА ОРТОГОНАЛЬНОГО РЯДА
А.Н. Панкратов
Институт математических проблем биологии РАН

Россия, 142290, г. Пущино Московской области, ул. Институтская, 4

тел.: (0967) 733926, факс: (0967) 330570, e-mail: pan@impb.ru

На примере задачи вычисления квадратного корня из отрезка ортогонального ряда рассматривается спектральный подход к решению нелинейных функциональных уравнений. Под спектральным подходом подразумевается такой способ решения задачи, когда решение находится в виде разложения в некотором базисе ортогональных функций. В случае линейных задач в рамках спектрального подхода сведение бесконечномерных задач к конечномерным осуществляется на основе принципа проектирования, который обычно называется методом Галёркина. В случае нелинейных задач, простейшей из которых является вычисление корня, этот подход наталкивается на трудности, начиная от обоснования корректности постановки задачи и заканчивая вопросами практической реализуемости и эффективности предлагаемых построений.

В рассматриваемом примере вопрос о вычислении квадратного корня из отрезка ортогонального ряда сводится к вопросу о вычислении квадратного корня из матрицы. Эта матрица является оператором умножения на функцию в пространстве коэффициентов разложения. Построение этого оператора в случае классических ортогональных систем может быть проведено двумя неэквивалентными способами. Таким образом, хотя вопрос обоснования сведения данной нелинейной задачи решается, но появляется источник неоднозначности в самом сведении задачи бесконечномерной к конечномерной. Рассматриваются также вопросы практической реализации и применения полученных результатов.

Работа выполняется в рамках проектов РФФИ № 04-02-17368, № 04-01-00756, а также при поддержке Фонда содействия отечественной науке.
Литература
1. Панкратов А.Н. О реализации алгебраических операций над рядами ортогональных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 12. С. 2121-2127.