velikol.ru
1


ГИДРОДИНАМИКА
















Гидравлические характеристики движения жидкости

  • Траектория движения частицы жидкости – это путь движения отдельной частицы жидкости в пространстве.

  • При установившемся движении траектория движения частиц жидкости неизменна по времени.

  • При неустановившемся движении траектория движения частиц непрерывно меняется по времени, т. к. происходит изменение скорости течения по величине и по направлению.

  • Траектория движения изображает путь, который проходит частица жидкости за некоторый промежуток времени.



Гидравлические характеристики движения жидкости



Линии равных напоров – линии перпендикулярные к линиям тока.

  • Линии равных напоров – линии перпендикулярные к линиям тока.

  • Проекции линий равных напоров на горизонтальную плоскость представляют собой карту уровенной поверхности (изогипс, изопьез).

  • Гидродинамическая сеткасистема линий равных напоров и перпендикулярных к ним линий тока (рис.)

  • Трубка тока – трубчатая непроницаемая поверхность, которая образуется если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока.



^ Элементарной струйкой называется часть жидкости, заключенная внутри трубки тока. Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в данный момент времени t.

  • Элементарной струйкой называется часть жидкости, заключенная внутри трубки тока. Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в данный момент времени t.

  • При установившемся движении элементарная струйка имеет следующие свойства:

    • 1. форма и положение элементарной струйки с течением времени остаются неизменными, так как не изменяются линии тока;
    • 2. приток жидкости в элементарную струйку и отток из нее через боковую поверхность невозможен, так как по контуру элементарной струйки скорости направлены по касательной;
    • 3. скорость и гидродинамическое давление во всех точках поперечного сечения элементарной струйки можно считать одинаковым ввиду малости площади .
  • Потоком жидкости называется совокупность движущихся с разными скоростями элементарных струек.





Смоченный периметр – та часть периметра живого сечения, которая соприкасается с твердыми стенками, образуя смоченную поверхность. Например, для русла вся боковая поверхность потока, за исключением свободной поверхности которую жидкость имеет на границе с газообразной средой.

  • Смоченный периметр – та часть периметра живого сечения, которая соприкасается с твердыми стенками, образуя смоченную поверхность. Например, для русла вся боковая поверхность потока, за исключением свободной поверхности которую жидкость имеет на границе с газообразной средой.

  • Для круглой трубы, работающей полным сечением, смоченный периметр равен длине окружности, т. е..

  • Для круглой незаполненной трубы если угол в радианах,

  • или если угол φ в градусах



  • Гидравлический радиус (R) – отношение площади живого сечения к смоченному периметру. Например, для круглой трубы, работающей полным сечением, гидравлический радиус четверти ее диаметра, т. е.

  • .





Уравнение неразрывности движения жидкости

  • Возьмем сечение 1-1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости и1. Элементарный расход через сечение 1-1 равен

  • Затем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью u1. Элементарный расход через сечение 2-2 равен

  • Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен; на участке 1-2, который сохраняет неизменные размеры, не образуется пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей в единицу времени через сечения 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы, т.е.

  • принимая во внимание, что сечения 1-1 и 2-2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки написать

  • или

  • - уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки - элементарный расход жидкости при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.





Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики, дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости.

  • Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики, дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости.



Выделим внутри жидкости бесконечно малую частицу в виде параллелепипеда. Рассмотрим уравнение движения частицы жидкости вдоль оси 0–Х. На эту частицу будут действовать силы давления

  • Выделим внутри жидкости бесконечно малую частицу в виде параллелепипеда. Рассмотрим уравнение движения частицы жидкости вдоль оси 0–Х. На эту частицу будут действовать силы давления

  • слева – pdydz,

  • справа –

  • и массовая сила – dxdydzX.

  • Если к действующим на частицу движущейся жидкости силам добавить силы инерции с обратным знаком, то на основании постулата Даламбера можно рассматривать эту частицу как находящуюся в покое.

  • Составляющая сил инерции по координатной оси O-X будет равна:

  • dxdydz

  • Эта же составляющая, отнесенная к единице массы, т.е. деленная на dxdydz определяется по оси О-Х следующим значением: –1 .



Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

  • Добавляя к уравнениям равновесия покоящейся жидкости силы инерции, получаем дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера) в проекциях по направлению осей О-Х, О- Y, О-Z:

  • ; ; .

  • Умножим слагаемые уравнений соответственно на dx, dy, dz и сложим их:

  • Выражение (Xdx. + Y dy + Zdz) – это полный дифференциал некоторой функции П, т. е. dП= Xdx + Y dy + Zdz,

  • Считая движение установившимся, p=f(x, у, z) можно записать:







  • Уравнение можно записать для двух сечений элементарной струйки 1-1 и 2-2 в виде равенства гидродинамических напоров в этих сечениях Н1=Н2

  • Выражение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости.





Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости



Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости



Для приведения результатов расчетов по средней скорости в соответствие с действительными скоростями, вводится коэффициент Кориолиса , характеризующий неравномерное распределение скоростей в живом сечении потока, представляющий собой отношение кинетической энергии, подсчитанной по истинным скоростям сечения, к той же энергии, вычисленной по средней скорости в этом же сечении потока

  • Для приведения результатов расчетов по средней скорости в соответствие с действительными скоростями, вводится коэффициент Кориолиса , характеризующий неравномерное распределение скоростей в живом сечении потока, представляющий собой отношение кинетической энергии, подсчитанной по истинным скоростям сечения, к той же энергии, вычисленной по средней скорости в этом же сечении потока

  • где u и v – соответственно истинная скорость и средняя местная скорость в любой точке живого сечения w.



Физический смысл и графическая интерпретация уравнения Д. Бернулли

  • Уравнение Бернулли можно записать в следующем виде:

  • т. е. геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении сумма четырех высот в каждом живом сечении потока есть величина постоянная и равна полной высоте - напору Н.

  • Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, то получим пьезометрическую линию. Сумму называют пьезометрическим (потенциальным) напором.

  • Падение пьезометрической линии на единицу длины потока называют пьезометрическим уклоном Iр, который выражают следующей зависимостью:

  • где L – длина потока между сечениями 1–1 и 2–2.

  • Пьезометрический уклон может быть как положительным, так и отрицательным.

  • Если соединить уровни жидкости в скоростных трубках, то получим линию полного напора. Падение линии полного напора на единицу длины называют гидравлическим уклоном I и выражают зависимостью:



  • Физический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что с энергетической точки зрения оно представляет тот или иной вид удельной энергии, т. е. энергию, приходящуюся на единицу веса жидкости.

  • Полная удельная энергия потока состоит из удельной энергии положения z, удельной энергии давления p/ и удельной кинетичеcкой энергии , которая уменьшается по длине потока в направлении движения из-за преодоления сил трения.

  • Таким образом, уравнение Бернулли представляет собой сумму потенциальной , и кинетической удельных энергий и выражает частный случай общего закона сохранения энергии в природе.



^ Основное уравнение равномерного движения жидкости

  • Рассмотрим часть равномерно движущегося потока (рис.) при допущении одинаковой скорости движения частиц по всему живому сечению. Это допущение упрощает решение поставленной задачи, дает возможность учесть только сопротивления трения потока о стенки трубы или русла и не учитывать сопротивления трения между частицами движущейся жидкости. В данном случае потери напора вызываются лишь гидравлическими сопротивлениями по длине потока, т. е. hw=hл.

  • Запишем уравнение Бернулли для двух сечений 1–1 и 2–2 выделенного из потока участка относительно плоскости сравнения 0–0:

  • ,

  • или с учетом равенства скоростей

  • ,

  • т. е. при равномерном движении потока потери напора по длине равны разности удельных потенциальных энергий.



Для вычисления этой разности рассмотрим действие внешних сил на выделенную часть потока и составим сумму проекций всех действующих сил на ось потока:

  • Для вычисления этой разности рассмотрим действие внешних сил на выделенную часть потока и составим сумму проекций всех действующих сил на ось потока:

  • P1–P2–Gsin–T

  • где Р1 и Р2 – силы давления, соответственно на сечения 1–1 и 2–2 G – сила тяжести выделенной части потока; T – сила трения потока о стенки трубы или русла.

  • Подставив значения слагаемых уравнения, получим