velikol.ru
1

Наименование дисциплины: Дополнительные главы геометрии

Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Авторы: д-р пед.наук, профессор, зав.кафедрой общей математики В.А.Кузнецова, к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры общей математики Ю.И.Большаков, к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры общей математики Л.Б.Медведева.


1. Курс «Дополнительные главы геометрии» включается в вариативную часть профессионального цикла подготовки бакалавров по направлению «Математика и компьютерные науки» с целью фундаментализации математического образования, формирования общего взгляда на математику как науку, все разделы которой взаимосвязаны, дополняют и обогащают друг друга. Целью преподавания является ознакомление студентов с некоторыми вопросами многомерной евклидовой, аффинной и проективной геометрии, а также некоторыми неевклидовыми пространствами, геометрией выпуклых множеств.


2. Курс «Дополнительные главы геометрии» относится к базовой части цикла Б3. геометрических дисциплин, важных как с математической общепрофессиональной точки зрения, так и методологической. Он позволяет расширить взгляд на понятие пространства, понятие координат, уяснить роль числа и отображения при построении геометрических систем. Изучение данного кура не только опирается на знания, полученные студентами при изучении курсов “Алгебра”, “Аналитическая геометрия”, “Линейная алгебра”, но значительно расширяет эти знания и увязывает их между собой.


3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:


Знать:

–понятие линейного многообразия и способы его задания;

–правильные многогранники в и их группы симметрий;

–теорему Эйлера-Пуанкаре для - многогранников;

–конфигурационные теоремы ви в .

–принцип двойственности на плоскости, в трехмерном пространстве, в n-мерном пространстве;

–понятие проективного отображения и проективного преобразования, свойства и виды проективных преобразований прямой, плоскости, трехмерного пространства;

–теоремы о классификации кривых и поверхностей в евклидовой, аффинной и проективной геометриях;

–теоремы Паскаля и Брианшона;

–идеи Эрлангенской программы Ф. Клейна


Уметь:

–выяснять взаимное расположение -плоскостей, находить размерность пересечения и его направляющего пространства;

–вычислять расстояния и углы между -плоскостями -мерного евклидова пространства;.

–определять вид аффинного и проективного преобразований прямой, плоскости, трехмерного пространства;

–находить соответственные элементы полярной корреляции и нуль- корре ляции.

– вычислять объемы многогранников в (при заданном ).

Владеть:

– о грассмановых координатах линейных подпространств и грассмановых многообразиях, исчислении Шуберта на грассманианах;

  • о возможности построения на проективной плоскости моделей девяти геометрий;

  • о возможности использования проективных отображений для конструирования кривых и поверхностей;

  • о проективных метриках и существовании 9 геометрий на плоскости;.

– о комбинаторной теории многогранников;


4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.


5. Содержание дисциплины:


п/п

Раздел дисциплины

1

Аффинные и метрические задачи геометрии линейных многообразий

1.1. Понятие линейного многообразия -мерного аффинного пространства, способы задания. Взаимное расположение пересекающихся и непересекающихся -плоскостей, размерность пересечения и направляющего пространства.

1.2 Пространства со скалярным произведением. Основные метрические задачи: расстояния и углы между -плоскостями.

2

Преобразования аффинных и евклидовых пространств

2.1. Аффинные отображения. Преобразование -родства. Гомотетия.

2.2. Группа движений. Конгруэнтность. Группа подобия.

3

Выпуклые множества

3.1. Понятие выпуклого множества. Теоремы отделимости. Многогранные множества.

3.2. Многогранники. Симплексы и -параллелепипеды. Правильные многогранники в и их группы симметрий.

3.3.Теорема Эйлера-Пуанкаре для - многогранников. Граничный комплекс многогранника. Элементы комбинаторной теории многогранников.

3,4. Объемы многогранников в .

4

Проективные пространства

4.1. Понятие -мерного проективного пространства, модели проективных пространств. Грассмановы координаты линейных подпространств и грассмановы многообразия.

4.2. Проективные отображения; полярные соответствия и нуль-корреляции. Группа проективных преобразований.

4.3.Конфигурационные теоремы ви в .

4.4 Квадрики в ви в , их классификация. Теоремы Паскаля и Брианшона.

5

Теоретико-групповая точка зрения на геометрию.

5.1. Эрлангенская программа Феликса Клейна.

5.2. Геометрия Лобачевского, Римана и Евклида в проективной схеме.

5.3. Классификация проективных метрик.



6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:


а) основная литература

1.Розенфельд Б.А. Геометрия групп Ли: симметрические, параболические и периодические пространства / Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский; Моск. центр непрерывного математ. образования. - М.: МЦНМО, 2003


б) дополнительная литература


1.Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1966. Гл. 3 – 5, 9.

2.Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. – М.: Наука, 1969. Гл. 2 – 5.

3.Берже М. Геометрия, Т.1. – М. : Мир, 1984. Ч.3.

4.Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1971.Ч. ll, с.242–470.

5.Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии.– М.: Наука, 1966.

6.Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. – М.:Просвещение, 1987. Ч. ll, гл. 1, 2, 5, 11,12.