velikol.ru
1

Олимпиада «Будущие исследователи – будущее науки» 2009/2010.

Математика. Заочный тур в г. Саров.


* Перед выполнением работы ознакомьтесь, пожалуйста, с Памяткой Участника!


Задания для 9 и 10 классов


1. Мама послала Васю и Федю в магазин за яблоками. Они купили красных, желтых и зеленых яблок, всего 21 штуку. Вася заметил, что красных яблок оказалось больше, чем желтых, а желтых больше, чем зеленых. Федя тут же сообразил, что если купить еще 5 яблок, то зеленых может оказаться больше, чем красных. Сколько желтых яблок куплено?


2. В прямоугольнике ABCD с площадью 1 из вершины А до противоположных ей сторон ВС и CD проведены отрезки AM и АК так, что они делят прямоугольник на три равновеликих части. Найти площадь  АМК.


3. После неудачного нападения на испанский галеон «команда» легендарного пирата Флинта отправилась «зализывать» раны в таверну «Морской волк». Оказалось, что если сядут только офицеры, то 17 стульев останутся свободными, а если только матросы, то 13 матросам не хватит мест. Если купить каждому по бутылке джина, то пара пиастров останется, а купить каждому по бутылке рома не хватает дюжины пиастров. Мудрый Флинт платил за всех и на все деньги купил по бутылке джина каждому матросу и по бутылке рома каждому офицеру. Сколько было матросов у Флинта и стульев в таверне?


4. В квадрате АВСD точка М лежит на стороне CD, равной 1. При каком положении точки М площадь круга, описанного вокруг Δ АВМ, будет максимальна? Обоснуйте ответ.


5. При каких значениях параметра b множество решений неравенства содержит ровно 2 простых числа?


^ Задания для 11 класса

1. На корабле легендарного пирата Флинта вечером обычно подавали бочонок (48л) коктейля «Старый боцман» крепостью 50% спирта, который готовили из рома (60% спирта, 20% сахара), джина (45% спирта, 5% сахара) и чистой воды. Каково могло быть содержание сахара в коктейле, если в качестве мерной емкости использовали

а) ведро (8л) б) ковш (2л) ?


2. В квадрате АВСD точка М лежит на стороне CD, равной 1. При каком положении точки М площадь круга, вписанного в Δ АВМ, будет максимальна? Ответ обоснуйте.


3. Для школьного вечера завуч попросила Васю и Федю расставить в спортзале стулья для гостей в несколько рядов. Вася хотел все стулья расставить так, чтобы число стульев в каждом ряду на 8 превышало число рядов. Федя, наоборот, предложил, чтобы число рядов на 8 превышало число стульев в каждом ряду. Других вариантов «прямоугольной» расстановки они не нашли. Сколько было стульев, если ожидали от 70 до 700 гостей?


4. При каких значениях параметра b множество решений неравенства содержит ровно 2 простых числа?


5. В прямоугольнике ABCD с площадью 1 из вершины А до противоположных ей сторон ВС и CD проведены отрезки AM и АN так, что они делят прямоугольник на три равновеликих части. Найти максимально возможное значение угла МАN.