velikol.ru
1

Задачи олимпиады по математике

Районный тур 2005-2006 уч. г.

8 класс


Продолжительность олимпиады – 4 часа

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов


    1. На прямой отмечено несколько точек. Между каждыми соседними точками вставили по две точки. Получили новую систему точек, состоящую из «старых» и «вставленных» точек. С новой системой проделали еще раз ту же процедуру. Могло ли в результате получиться 2005 точек?

    2. Доказать, что для любого целого a найдется такая тройка целых чисел, что произведение любых двух из них больше третьего на a.

    3. Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке M. а) Может ли угол BMC быть тупым? б) Найти угол BAC, если известно, что  BMC = .

    4. Доказать, что из любых 2600 целых чисел можно выбрать два таких числа, что их разность делится на все натуральные числа до 10 включительно.

    5. Пусть s(n) обозначает сумму цифр натурального числа n. Сколькими нулями оканчивается число, равное произведению s(1)  s(2)  …  s(100)?