velikol.ru
1


Занимательные задачи по математике.

  • Мычко-Мегрин Анастасия 11 «А» класс!


Условия задачи №1

  • C4

  • Четырёхугольник АВСД вписан в окружность. Лучи ВА и СД пересекаются в точке L, а лучи ВС и АД в - точке К. Найдите угол ВАД если угол СКД – ALД = 60 градусов.



Решение:

  • Решение:Обозначим угол ВАД = альфа, тогда по свойству противолежащих углов вписанного четырёхугольника угол ВСД = 180 – альфа. Поскольку угол ВАД - внешний угол треугольника AДL то угод АLД+ угол АДL= альфа. Аналогично угол ВСД внешний угол треугольника СДК, и поэтому угол СКД+угол СДК = 180 - альфа.



Решение:

  • Отметим, что углы АДL и СДК равны, как вертикальные.

  • Поэтому, вычитая из второго равенства первое, получим СКД – АLД = 180 – 2альфа. Но по условию угол СКД – угол АLД = 60 градусов. Следовательно, альфа = углу ВАД = 60 градусов. Ответ: 60.



Условие задачи №2

  • С 2

  • Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани корень из пяти. Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.



Решение:

  • Решение:

  • Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC - равносторонний, а A1BC - равнобедренный. Следовательно, угол A1HA - линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1.

  •  



Решение:

  • Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1.

  • Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH= корень из трёх.

  • Из треугольника HAA1 находим:

  • А1НА= АА1 \ АН = 1\корень из трёх. Отсюда находим: угол A1HA=30 градусов.

  • Ответ. 30.



Условие задачи №3

  • Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 210. Найди эти числа.



Решение:

  • Способ 1. Разложим число 210 на простые множители:

  • 210 = 2 · 3 · 5 · 7.

  • Группируем 4 полученных однозначных сомножителя попарно исходя из условия минимальной разности двух искомых чисел:



Условие задачи №4

  • На доске написаны натуральные числа от 1 до 1966. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. Сколько раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число? Какое это число – четное, или нечетное?



Решение:

  • После каждой операции количество чисел уменьшается на 1.

  • Для достижения цели потребуется выполнить 1965 операций.

  • Два числа одной четности дают четную разность, числа разной четности – нечетную.

  • В каждой из этих групп 983 числа. Выполнив 982 операции в группе четных чисел, получим в результате четное число.

  • Разобъем 982 нечетных числа на пары и найдем 491 четную разность.

  • Оставшееся без пары нечетное число, вступая в контакт с четным, всякий раз будет давать нечетную разность.

  • По завершении процесса мы получим нечетный результат. Таким образом, конечный результат зависит только от количества нечетных чисел.



Замечания к задаче:

  • Замечания. 1. Четность конечной разности не зависит от выбора пар чисел, образующих промежуточные разности.

  • Объясняется это тем, что нечетное число дает четную разность лишь в паре с таким же нечетным.

  • Поэтому при любом варианте у нас в итоге останется одно нечетное число.

  • 2. Рассмотренная задача аналогична задаче, когда следует определить знак произведения сомножителей, имеющих разные знаки.

  • Решая такую задачу, мы принимаем во внимание лишь отрицательные сомножители.

  • При четном их числе результат будет положительным, при нечетном – отрицательным.



Условие задачи №5

  • С2 Дан правильный тетраэдр МАВС с ребром 1. найдите расстояние между прямыми AL и МО, где L-середина ребра МС, О-центр грани АВС



Решение:



Решение:

  • 2. Строим проекцию AK отрезка AL на плоскость ABC. Плоскость AKL перпендикулярна плоскости ABC, параллельна прямой MO и содержит прямую AL. Значит, искомая длина - это длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O к AK. 3. Дальше всё можно найти по теореме Пифагора либо методом координат. В ответе получится 1/(2*корень квадратный 7) Ответ: 1/(2*корень квадратный 7)



Условия задачи №6

  • С5

  • Найти все значения параметра a, при которых функция f(x) = x^2 - |x-a^2| - 9x имеет хотя бы одну точку максимума.



Решение:

  • Раскроем модуль: При x <= a^2: f(x) = x^2 - 8x - a^2, при x > a^2: f(x) = x^2 - 10x + a^2. Производная левой части: f'(x) = 2x - 8 Производная правой части: f'(x) = 2x - 10 И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a^2 левая часть возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая — убывает (то есть 2x-10 < 0).



  • То есть, получаем систему: 2x-8 > 0 2x-10 < 0 x = a^2 откуда 4 < a^2 < 5

  • a ∈ (-корень квадратный5; -2) ∪ (2; корень квадратный 5)



Условие задачи №7

  • С1

  • Решите систему уравнений: 2y+3cosx = 0 (ln(cos(x))+1)(y-1) = 0



Решение:

  • Эта система равносильна совокупности из двух систем: 1. {2y+3cos(x)=0, y-1=0, cos(x) > 0} y = 1; 2+3cos(x) = 0; cos(x) = -2/3 < 0, следовательно, у этой системы нет решений. 2. {2y+3cos(x)=0, ln(cos(x))+1 = 0} ln(cos(x)) = -1 cos(x) = 1/e x = ±arccos(1/e) + 2*π*n, n ∈ Z 2y+3/e = 0 y = -3e/2 Ответ:

  • {y = -3e/2; x = ±arccos(1/e) + 2*π*n, n ∈ Z}



Спасибо за внимание!

  • Мычко-Мегрин Анастасия 11 «А» класс.