velikol.ru
1

Наименование дисциплины: Классические модели теории приближений

Направление подготовки: 010400 Прикладная математика и информатика

Профиль подготовки: Математическое моделирование и вычислительная математика

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор: к.ф-м.н., доцент, зав.кафедрой теории функций и функционального анализа

М.В.Невский.


1. Дисциплина «Классические модели теории приближения» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует формированию мировоззрения математика-прикладника и обеспечивает приобретение специальных знаний в рамках направления «Численные методы».

Целью преподавания дисциплины является ознакомление слушателей с основными понятиями, результатами и методами теории приближения, а также подготовка студентов к изучению других специальных дисциплин.

В процессе обучения студенты должны усвоить методику постановки и решения классических и современных задач теории приближения, внутреннюю логику, связывающую теорию приближения и другие дисциплины (математический анализ, функциональный анализ, алгебра, аналитическая геометрия, численные методы, дискретная математика, информатика) приобрести навыки исследования и решения конкретных задач.






2. Дисциплина входит в вариативную часть профессионального цикла. Знания, умения и навыки, полученные при изучении дисциплины «Классические модели теории приближения», используются студентами в процессе изучения специальных дисциплин, а также в ходе выполнения курсовых и выпускных квалификационных работ.


3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:


^ Знать:

- основные понятия и результаты теории приближения;


Уметь:

- реализовывать основные способы и алгоритмы решения задач;

- применять понятия, результаты и методы теории приближения в других разделах математики

- использовать компьютер в решении конкретных задач теории приближения


Владеть:

математическим аппаратом теории приближения, методами решения и доказательства утверждений в этой области.


4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 часов.


5. Содержание дисциплины:


п/п

Раздел дисциплины

1

Введение

Предмет и задачи теории приближения. Цели, объекты и средства приближения. Измерение точности. Основные исторические этапы и творцы теории приближения.

2

^ Наилучшее приближение. Наилучшее приближение и его свойства. Ключевые вопросы теории наилучшего приближения. Проектор. Неравенство Лебега. Существование и единственность элемента наилучшего приближения. Формулы двойственности.

3

Некоторые классические результаты теории приближения. Круг идей П.Л. Чебышева. Задачи Чебышева о тригонометрическом и алгебраическом многочленах. Многочлены Чебышева и их свойства. Теорема Мюнца. Многочлены Лежандра. Теорема Вейерштрасса. Доказательства Лебега и Бернштейна. Многочлены Бернштейна. Теорема Шнирельмана. Критерий элемента наилучшего приближения в C(K). Единственность элемента наилучшего приближения. Теорема Чебышева об альтернансе. Понятие об алгоритме Ремеза.


4

Аппроксимация рациональными функциями.^ Теорема Ньюмена. Методы рациональной аппроксимации. Аппроксимации Паде и их свойства.

5

Интерполяция – часть 1. Число нулей и задача интерполяции. Интерполяция алгебраическими и тригонометрическими многочленами. Формулы Лагранжа. Задача Эрмита. Одномерные интерполяционные проекторы и их оценки. Преимущества узлов Чебышёва.Теорема Фабера. Пример Рунге.

6

^ Интерполяция – часть 2. Задачи двумерной интерполяции алгебраическими многочленами. Аналоги формул Лагранжа. Норма проектора. Линейная и квадратичная интерполяция на квадрате. Оптимальный выбор узлов на плоском множестве. Интерполяция рациональными функциями. Интерполяция сплайнами. Параболические и кубические интерполяционные сплайны и их оценки. Методы кусочно-полиномиальной интерполяции функций двух и трех переменных.

7

^ Приближение в гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство. Ортогонализация Грама – Шмидта. Неравенство Бесселя. Критерий элемента наилучшего приближения с помощью конечномерного подпространства. Ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Полные ортонормированные системы и их различные характеризации.

8

^ Ортогональные многочлены. Пространство L2w[a, b]. Общие свойства ортогональных многочленов. Формула Кристоффеля – Дарбу. Оценки функций и констант Лебега и сходимость рядов Фурье. Многочлены Якоби. Ультрасферические многочлены. Оценки постоянной Лебега для многочленов Чебышёва и Лежандра. Свойства рядов Чебышёва. Семейства многочленов, ортогональных с весом на полупрямой и прямой. Ортогональные многочлены двух переменных.

9

^ Модули непрерывности и теоремы о скорости кусочно-полиномиальной аппроксимации. Модули непрерывности 1 порядка и их свойства. Классы функций, задаваемые модулямнепрерывности 1 порядка. Условия Липшица и Дини – Липшица. Модули непрерывности порядка k. Критерий предкомпактности в терминах –го модуля непрерывности. Теорема Уитни. Константы Уитни, их оценки. Аналоги теоремы Уитни. Теоремы о скорости кусочно-полиномиальной и сплайн-аппроксимации.

6.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:


а) основная литература:


б) дополнительная литература:


1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: «Наука»,1965. 407 с.

2. Брудный Ю. А. Теория приближения. Ярославль, 1981. 94 с.

3. Брудный Ю. А., Горин Е. А. Геометрические задачи теории наилучшего приближения. Ярославль, 1988. 35 с.

4. Брудный Ю. А., Иродова И. П. Прикладная теория приближения. Ярославль, 1986. 88 с.

5. Брудный Ю. А., Шалашов В. К. Теория сплайнов. Ярославль, 1983. 90 с.

6. Невский М. В., Иродова И. П. Некоторые вопросы теории приближения функций. Ярославль, 1999. 92 с.

7. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. Л.:Изд-во ЛГУ, 1977. 184 c.

8. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: «Радио и связь», 1985. 304 с.

9. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: «Наука», 1987. 424 с.

10. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: «Наука», 1983. 384 с.

11. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: «Наука», 1977. 248 с.

12. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М.: «Наука», 1988. 384 с.

13. Бердышев В. И., Петрак Л. В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. Екатеринбург, 1999. 297 с.

14. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: «Мир», 1986. 502 с.