velikol.ru
1


Лекция 8. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

  • 8.1. Напряженность и потенциал электростатического поля в проводнике.

  • 8.2. Определение напряженности электростатического поля вблизи проводника.

  • 8.3. Экспериментальная проверка распределения заряда на проводнике.

  • 8.4. Конденсаторы.

  • 8.4.1. Электрическая емкость. Конденсаторы.

  • 8.4.2. Соединение конденсаторов.

  • 8.4.3. Расчет емкостей различных конденсаторов.

  • 8.4.4. Энергия заряженного конденсатора.

  • 8.5. Энергия электростатического поля.


8.1. Напряженность и потенциал электростатического поля в проводнике

  • В проводниках имеются электрически заряженные частицы – носители заряда (электроны в металлах, ионы в электролитах) способные перемещаться по всему объему проводника под действием внешнего электростатического поля.

  • Носителями заряда в металлах являются электроны проводимости. Они возникают при конденсации паров металла за счет обобществления валентных электронов.

  • При отсутствии электрического поля металлический проводник является электрически нейтральным – электростатическое поле создаваемое положительными и отрицательными зарядами внутри него компенсируется.



При внесении металлического проводника во внешнее электростатическое поле, электроны проводимости перемещаются (перераспределяются) до тех пор, пока всюду внутри проводника поле электронов проводимости и положительных ионов не скомпенсирует внешнее поле.

  • При внесении металлического проводника во внешнее электростатическое поле, электроны проводимости перемещаются (перераспределяются) до тех пор, пока всюду внутри проводника поле электронов проводимости и положительных ионов не скомпенсирует внешнее поле.

  • В любой точке внутри проводника, находящимся в электростатическом поле Е = 0; dφ = 0; т. е. φ = const.

  • Диэлектрическая проницаемость

  • На поверхности проводника напряженность направлена по нормали к этой поверхности, иначе, под действием составляющей , касательной к поверхности, заряды перемещались бы по проводнику, а это противоречило бы их статическому распределению.

  • Вне заряженного проводника – поле есть, следовательно, должен быть вектор , и направлен он перпендикулярно поверхности!





Действительно, в любой точке внутри проводника, следовательно, φ = const.

  • Действительно, в любой точке внутри проводника, следовательно, φ = const.

  • Поверхность проводника тоже эквипотенциальна:

  • (5.1.1)

  • (для любой линии на поверхности)

  • Потенциал поверхности равен потенциалу объема проводника.

  • В заряженном проводнике некомпенсированные заряды, располагаются только на поверхности (их расталкивают кулоновские силы).

  • Доказательство:

  • Согласно теореме Остроградского – Гаусса суммарный заряд q внутри объема проводника равен нулю, так как Е=0



8.2. Определение напряженности электростатического поля вблизи проводника

  • Выделим на поверхности S проводника площадку dS и построим на ней цилиндр с образующими, перпендикулярными к площадке dS, высотой dl.



Поток вектора электрического смещения через dS'' тоже равен нулю, так как dS'' лежит внутри проводника, где и, следовательно .

  • Поток вектора электрического смещения через dS'' тоже равен нулю, так как dS'' лежит внутри проводника, где и, следовательно .

  • Отсюда следует, что поток dФD сквозь замкнутую поверхность равен потоку через dS':

  • dФD = DndS (8.2.1).

  • С другой стороны по теореме Остроградского-Гаусса: dФD = dq = σdS (8.2.2),

  • где: σ – поверхностная плотность зарядов на dS. Из равенства правых частей следует, что Dn = σ тогда

  • (8.2.3)

  • Напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника прямопропорцианальна поверхностной плотности зарядов.



8.3. Экспериментальная проверка распределения заряда на проводнике

  • Проверим экспериментально сделанные нами выводы:

  • 1. Заряженный кондуктор (рис. 8.3).

















8.4. Конденсаторы 8.4.1. Электрическая емкость.

  • При сообщении проводнику заряда, на его поверхности появляется потенциал φ. Но если этот же заряд сообщить другому проводнику, то потенциал будет другой. Это зависит от геометрических параметров проводника. Но в любом случае, потенциал φ пропорционален заряду q.

  • q = Cφ (8.4.1)

  • Коэффициент пропорциональности называют электроемкостью физическая величина, численно равна заряду, который необходимо сообщить проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу.

  • Единица измерения емкости в СИ – фарада 1 Ф = 1Кл / 1В.



Если потенциал поверхности шара

  • Если потенциал поверхности шара

  • (8.4.3),

  • то

  • Cшар. = 4 πεε0R (8.4.4),

  • Если ε = 1 (воздух, вакуум) и R = Rземли, то

  • CЗ = 7·10 –4 Ф или 700 мкФ.

  • Чаще на практике используют и более мелкие единицы: 1 нФ (нанофарада) = 10 –9 Ф и 1пкФ (пикофарада) = 10 –12 Ф.

  • Необходимость в устройствах, накапливающих заряд есть, а уединенные проводники обладают малой емкостью. Обратите внимание, что электроемкость проводника увеличивается, если к нему поднести другой проводник – явление электростатической индукции.

  • Конденсатор – два проводника называемые обкладками расположенные близко друг к другу.





Найдем формулу для емкости плоского конденсатора.

  • Найдем формулу для емкости плоского конденсатора.

  • Напряженность между обкладками равна

  • (8.4.6)

  • где: S – площадь пластин (обкладок); q – заряд конденсатора

  • отсюда

  • (8.4.7)

  • ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика между обкладками.

  • Как видно из формулы, диэлектрическая проницаемость вещества очень сильно влияет на емкость конденсатора. Это можно увидеть и экспериментально: заряжаем электроскоп, подносим к нему металлическую пластину – получили конденсатор (за счет электростатической индукции, потенциал увеличился).



Вносим между пластинами диэлектрик с ε, больше чем у воздуха и потенциал конденсатора изменяется.

  • Вносим между пластинами диэлектрик с ε, больше чем у воздуха и потенциал конденсатора изменяется.

  • Отсюда можно получить единицы измерения ε0:

  • Помимо емкости каждый конденсатор характеризуется Uраб (или Uпр. – максимальное допустимое напряжение).



8.4.2. Соединение конденсаторов

  • Емкостные батареи – комбинации параллельных и последовательных соединений конденсаторов.

  • 1) Параллельное соединение (рис. 5.6):



Сравните с параллельным соединением сопротивлений R:

  • Сравните с параллельным соединением сопротивлений R:

  • (8.4.11)

  • Таким образом, при параллельном соединении конденсаторов, их емкости складываются.

  • 2) Последовательное соединение :

  • Общим является заряд q



8.4.3. Расчет емкостей различных конденсаторов

  • Емкость плоского конденсатора.



2. Емкость цилиндрического конденсатора.

    • 2. Емкость цилиндрического конденсатора.
  • Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

  • (8.4.17)

  • где λ – линейная плотность заряда, R R2 – радиусы цилиндрических обкладок.

  • q = λl, (l – длина конденсатора)

  • (8.4.18)

  • (8.4.19)



Понятно, что зазор между обкладками мал: d = R2 – R1, то есть d << R1, тогда

  • Понятно, что зазор между обкладками мал: d = R2 – R1, то есть d << R1, тогда

  • (8.4.20)

  • 3. Емкость шарового конденсатора.

  • (8.4.21)

  • Это разность потенциалов между обкладками шарового конденсатора, где R1 и R2 – радиусы шаров.

  • (8.4.22)



В шаровом конденсаторе R1 ≈ R2; S = 4πR2; R2 – R1 = d – расстояние между обкладками. Тогда

  • В шаровом конденсаторе R1 ≈ R2; S = 4πR2; R2 – R1 = d – расстояние между обкладками. Тогда

  • (5.4.23)

  • Таким образом, емкость шарового конденсатора,



8.4.4. Энергия заряженного конденсатора

  • Если замкнуть обкладки конденсатора, то по проволоке потечет ток, который может даже расплавить ее. Значит, конденсатор запасает энергию. Вычислим ее.

  • Конденсатор разряжается U' – мгновенное значение напряжения на обкладках. Если при этом значении напряжения между обкладками проходит заряд dq, то работа

  • dA = U'dq. (8.4.24)

  • Работа равна убыли потенциальной энергии конденсатора:

  • dA = – dWc. (8.4.25)

  • Так как q = CU, то dA = CU'dU', а полная работа



(8.4.26)

  • (8.4.26)

  • (8.4.27)

  • Энергию конденсатора можно посчитать и по другим формулам:

  • (8.4.28)



8.5. Энергия электростатического поля

  • Где же сосредоточена энергия конденсатора? На обкладках? То есть на зарядах? А может, в пространстве между обкладками? Только опыт может дать ответ на этот вопрос.

  • В пределах электростатики дать ответ на этот вопрос невозможно. Поля и заряды, их образовавшие не могут существовать обособленно. Их не разделить. Однако переменные поля могут существовать независимо от возбуждавших их зарядов (излучение солнца, радиоволны, …) и они переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является электростатическое поле.

  • Носителем энергии в конденсаторе, Wc является электростатическое поле. Найдем Wc:



Sd = V – объем. Отсюда:

  • Sd = V – объем. Отсюда:

  • (8.5.1)

  • Если поле однородно, заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью. Тогда можно посчитать удельную энергию ωуд:

  • (8.5.2)

  • Или, так как D = ε0εE, то (8.5.3)

  • Эти формулы справедливы для однородного поля.

  • Если поле создано двумя точечными зарядами q1 и q2, то для каждого из них

  • ; Здесь φ12 потенциал поля, создаваемого зарядом q2 в точке, где расположен заряд q1, φ21 – потенциал поля от заряда q1 в точке с зарядом q2.



Для вакуума можно записать

  • Для вакуума можно записать

  • Здесь r – расстояние между зарядами. Из двух последних систем уравнений следует, что

  • Обобщая этот вывод на систему из N зарядов, записываем:

  • (5.5.4)

  • потенциал в точке, где расположен заряд q1,

  • создаваемый всеми остальными зарядами (кроме q1).



Как мы уже говорили пондермоторные силы – это силы электрического взаимодействия.

  • Как мы уже говорили пондермоторные силы – это силы электрического взаимодействия.

  • Разноименные пластины конденсатора будут притягиваться. Силу их притяжения называют пондермоторной.

  • При незначительном перемещении одной пластины в поле другой совершается работа

  • (8.5.8)

  • Тогда, можно записать, что

  • Отсюда можно получить формулу для расчета пондермоторной силы

  • (8.5.9)