velikol.ru
1



ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


ИРЭ (ЭР-11--16)


I семестр (18 нед.), 22 (зач., экз.), 2004-2005 уч.год}


Лектор А.И. Кириллов


Планы лекций соответствуют книге О.В. Зиминой

``Линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Учебный комплекс. М.: Изд-во МЭИ, 2000.


ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

1 занятие. Матрицы. Действия с матрицами


Цель занятия: научиться оперировать матрицами так же, как

вещественными числами, т.е. складывать матрицы,

умножать их на числа, перемножать матрицы, разобраться

в особенностях алгебры матриц.

Сложение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование

матриц: [1], примеры 1.1-1.3, 1.10.

Умножение матриц: [1], примеры 1.4, 1.6.

Многочлен от матрицы: [1], пример 1.9.


Задание на дом:


1. Прочитать 1-ю часть 2-й лекции "Матрицы. Определители. Правило

Крамера [1], с. 16-25. Ответить на вопросы на с. 28-30.


2. Изучить решение примеров 1.5, 1.7-1.9 ([1], с. 140-142).


3. Решить задачи 1.1-1.3 и упражнения 1.5-1.7 ([1], с. 143-144).


4. Установить на компьютере пакет РЕШЕБНИК.ВМ.


5. Используя указания в пакете РЕШЕБНИК.ВМ,

научиться набирать в полях Word простые формулы и матрицы.


6. Решить задачи с помощью компьютера 1.4 ([1], с. 145).


7. Оформить отчет о выполнении задания.


Компьютерная поддержка: действия с матрицами.


2 занятие. Определители, их свойства и вычисление.

Системы линейных уравнений, правило Крамера.


Цель занятия: изучить основные свойства определителей,

научиться вычислять определители любого порядка и

применять определители

для решения линейных алгебраических уравнений

неизвестными по правилу Крамера.


1. Контрольный опрос: [1], с. 146.


2. Определители: [1], примеры 2.1, 2.2.


3. Правило Крамера: [1], пример 2.8, [2], разд. 2.1, с. 36-38.


Задание на дом:


1. Прочитать 2-ю часть 2-й лекции "Матрицы. Определители. Правило Крамера"

[1], с. 16-25. Ответить на вопросы на с. 28-30.

Ознакомиться с методом Гаусса (пример 3.1, с. 155).


2. Изучить решение примеров 2.3-2.7 ([1], 147-150).


3. Решить задачи 2.1-2.3, 2.5 ([1], с. 152-153)

и 1-3 ([2], разд. 2.1, с. 38).


4. Научиться набирать в полях Word определители и системы уравнений.


5. Решить задачи с помощью компьютера 2.2 ([1],

с. 152--153) и 4-6 ([2], разд. 2.1, с. 38).


6. Оформить отчет о выполнении задания.


Компьютерная поддержка: вычисление определителей.


3 занятие. Решение системы линейных уравнений методом

Гаусса. Обратная матрица.


Цель занятия:

изучить метод Гаусса (метод исключения неизвестных) и его

применение для решения систем линейных алгебраических

уравнений и вычисления обратной матрицы.


1. Контрольный опрос:


а) какие преобразования строк матрицы называются элементарными?


б) каким преобразованиям системы уравнений соответствуют

элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы?


в) сколько систем уравнений надо решить, чтобы

найти матрицу, обратную квадратной матрице n-го порядка?

Какую основную матрицу имеют эти системы и какие у них

столбцы свободных членов?


2. Метод Гаусса: [1], примеры 3.1, 3.2.


3. Обратная матрица: [1], примеры 3.4, 3.5; [2], разд. 2.2, с. 39-40.


4. Матричные уравнения: [1], примеры 3.6, 3.7.


Задание на дом:


1. Подготовиться по теме "Геометрические векторы":

[1], разд. 4.1-4.3 и изучить решение примеров 4.1, 4.2, 4.4, 4.7

([1], с. 170-175).


2. Решить задачи 3.1, 3.2, 3.6 ([1], с. 167-168)

и 1-3 ([2], разд. 2.2, с. 40).


3. Научиться набирать в полях Word геометрические векторы.


4. Решить задачи с помощью компьютера: 3.3-3.5, 3.7, 3.9 ([1],

с. 168-169).


5. Оформить отчет о выполнении задания.


Компьютерная поддержка:

приведение матрицы к редуцированному (гауссову)

виду, действия с матрицами (для проверки полученных результатов).


4 занятие. Геометрические векторы.


Цель занятия: познакомиться с основными понятиями,

связанными с геометрическими векторами; научиться складывать

и умножать векторы на число; изучить операции скалярного,

векторного и смешанного умножения векторов, их свойства и применение к решению

геометрических задач.


1. Контрольный опрос по домашнему заданию: [1], с. 287-289.


2. Линейные операциям с векторами и скалярное произведение векторов:

[1], примеры 4.1-4.6.


3. Векторное и смешанное произведение: [1], примеры 4.8-4.10.


Задание на дом:


1. Подготовиться по теме "Разложение вектора по базису. Операции с векторами

в координатной форме":

[1], разд. 5.1-5.4 (с. 180-188).


2. Ответить на контрольные вопросы (3-4 вопроса по выбору): [1], с. 289.


3. Решить задачи 4.1-4.5, 4.7

и упражнения 4.6, 4.8-4.10 ([1], с. 178--179 ).


4. Научиться набирать в полях Word операции с векторами.


5. Оформить отчет о выполнении задания.


5 занятие.

Разложение вектора по базису. Операции с

векторами в координатной форме}


Цель занятия: познакомиться с понятием базиса в трехмерном

пространстве; научиться оперировать с векторами в координатной

форме; вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов в

ортонормированном базисе и применять эти умения для решения геометрических

задач.


1. Контрольный опрос по домашнему заданию и контрольные вопросы

(по выбору) [1], с.289.


2. Разложение вектора по базису. Линейные операции в координатной форме:

[1], примеры 5.1, 5.2, [2], разд. 1.1-1.2, с. 11-13.


3. Скалярное произведение в ортонормированном

базисе: [1], примеры 5.3-5.5, [2], разд. 1.3, с. 14-15.


4. Векторное и смешанное произведение в ортонормированном

базисе: [1], примеры 5.6--5.9, [2], разд. 1.4--1.6, с. 15--20.


Задание на дом:


1. Подготовиться по теме "Плоскость и прямая в пространстве":

[1], разд. 6.1-6.2 (с.190, 192--194),

изучить планы решения и примеры разд. 1.1-1.6

([2], с. 1-20).


2. Решить задачи 5.1-5.11 ([1], с. 188-189),

и 3-4 ([2], разд. 1.4, с. 17),

1-3 ([2], разд. 1.5, с. 18),

6-7 ([2], разд. 1.6, с. 20).


3. Решить задачи 1--6 ТР IX "Аналитическая геометрия"[3]

(можно использовать компьютерную поддержку) и оформить документ Word.


Компьютерная поддержка: вычисление определителей,

численные расчеты, операции с векторами в координатной форме.


^ 6-7 занятия. Плоскость и прямая в пространстве.


Цель занятий:

вывести уравнение плоскости с данным нормальным вектором;

канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве;

научиться решать задачи аналитической геометрии, используя

полученные результаты и операции с геометрическими векторами.


1. Обсудить следующие вопросы:


общее уравнение плоскости;


уравнение плоскости с данным нормальным вектором;


общие, канонические и параметрические уравнения прямой.


2. Плоскость в пространстве: [1], примеры 6.1-6.4.


3. Прямая в пространстве: [1], примеры 6.5-6.7.


4. Взаимное расположение плоскости и прямой: [1], примеры 7.1-7.5.


Задание на дом:


1. Подготовиться к КР "Векторная алгебра, плоскость и

прямая в пространстве" по образцу: [1], с. 315.

Ответить на вопросы: [1], с. 289-290.


2. Изучить планы решения и примеры разд. 1.7-1.13

([2], с. 21-34).


3. Решить задачи 6.1-6.7 и 7.1-7.5 ([1], с. 196 и 201)

и задачи 1-2 ([2], разд.1.7, с.22), 1-2 ([2], разд.1.10, с.27),

3-4 ([2], разд.1.12, с.32), 9-10 ([2], разд.1.13, с.35).


4. Оформить для сдачи преподавателю на электронном или

бумажном носителе ТР IX "Аналитическая геометрия"[3],

задачи 1-8, 12-14 (По усмотрению преподавателя ТР можно

разрешить оформить в шаблонах решебника и сдать в распечатанном виде или

послать по электронной почте для проверки лектору по адресу

KirillovAI@mpei.ru с указанием Ф.И.О., N варианта, N группы и N лицензии).


Компьютер можно использовать для вычисления определителей,

численных расчетов, операций с векторами в координатной форме.


8 занятие. КР "Векторная алгебра, плоскость и

прямая в пространстве.


Задание на дом:


1. Изучить лекции 3 и 4 «Линейные пространства»

[1], с.31-47. Ответить на вопросы на с. 37-38 и 47.


9 занятие. Линейные пространства.


Цель занятия: на примерах изучить понятие

линейного пространства; научиться исследовать линейную зависимость

систем векторов, находить базис и размерность

пространства и разлагать векторы по базису.


1. Контрольный опрос: [1], с. 202.


2. Исследование линейности пространств: [1], примеры 8.1, 8.2, 8.5.


3. Исследование линейной зависимости векторов: [1], примеры 8.6, 8.8, 8.9.


4. Базис и размерность линейного пространства, разложение

вектора по базису: [1], примеры 8.12, 8.14, 8.15.


5. Оформить отчет о выполнении задания.


Задание на дом:


1. Изучить лекции~5 и~6 ``Линейные операторы"

[1], с.~48-62. Ответить на вопросы на с. 53 и 62.


2. Изучить решение примеров

8.3, 8.4, 8.7, 8.10, 8.11, 8.13 ([1], с. 203-206 и 208--210).


3. Решить задачи 8.1-8.5, 8.7 и 8.10 ([1], с. 213)

и 2,4,5,9 ([2], разд. 2.3, с.~43--44).


4. Решить задачи 8.6, 8.8 и 8.9 ([1],

с. 213) и 1-3 ([2], разд. 1.1, с.~12), используя компьютер для

для приведения матрицы, составленной из координатных столбцов

заданных векторов к гауссову виду.


5. Решить задачу 1 ТР X ``Линейная алгебра"~[3].


6. Оформить отчет о выполнении задания.


10 занятие. Линейный оператор и его матрица.


Цель занятия: на примерах различных отображений изучить понятие

линейного оператора; на основе определения научиться строить

матрицы линейных операторов как по столбцам, так и по строкам,

находить матрицы суммы операторов, произведения оператора и числа и

композиции линейных операторов.


1. Контрольный опрос: [1], с. 214.


2. Исследование линейности операторов: [1], примеры 9.1--9.3.


3. Матрица линейного оператора: [1], примеры 9.5, 9.6.


4. Действия с операторами и их матрицами: [1], пример 9.7.


Задание на дом:


1. Изучить лекции~7 и~8 ``Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора.

Ранг матрицы. Исследование оператора по его матрице"

[1], с.~63-73. Ответить на вопросы на с. 66 и 73.


2. Изучить решение примеров 9.4 и 9.8 ([1], с. 216 и 218-219).


3. Решить задачи 9.1-9.5 и упражнение 9.7 ([1], с. 219) и задачи 1-2

([2], разд. 2.5, с.~54), 6-8 ([2], разд. 2.6, с.~57).


4. Решить задачи с помощью компьютера 9.6 ([1],

с. 219) и 7, 9 ([2], разд. 2.7, с.~61).


5. Решить задачи 5,6 ТР X "Линейная алгебра"~[3].


6. Оформить отчет о выполнении задания.


Компьютер можно использовать для выполнений действий с матрицами.


11 занятие. Ранг матрицы. Образ, ядро. ранг и дефект линейного

оператора.


Цель занятия: уяснить понятия образа, ядра, ранга и дефекта

линейного оператора; научиться вычислять ранг матрицы и

получать всю информацию об операторе по его матрице.


1. Контрольный опрос: [1], с. 221.


2. Ранг матрицы: [1], примеры 10.1, 10.2, 10.4.


3. Образ, ядро. ранг и дефект линейного оператора: [1], пример 10.7

и [2], разд. 2.6, задачи 4,~6.


4. Исследование оператора по его матрице: [1], пример 10.8.


Задание на дом:


1. Изучить лекцию~9 "Системы линейных уравнений"

[1], с.~74-82. Ответить на вопросы на с. 82-83.


2. Изучить решение примеров 10.3, 10.9 ([1], с. 223-224, 229-232)

и план решения и пример разд. 2.6 ([2], с.~55-57).


3. Решить задачи 10.1-10.8 ([1], с. 232-233).


4. Решить задачи с помощью компьютера 10.5, 10.6 и 10.8 ([1],

с. 225-226 и 234).


5. Решить задачу 8 ТР X "Линейная алгебра"~[3].


6. Оформить отчет о выполнении задания.


Компьютер можно использовать для приведения матриц к гауссову виду.


12 занятие. Системы линейных уравнений.


(11 и 12 занятия книги [1] можно провести за одно занятие).


Цель занятия: научиться исследовать совместность

системы линейных уравнений; изучить однородные системы линейных

уравнений, условие их нетривиальной совместности; научиться находить

фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

линейных уравнений;

научиться исследовать совместность и находить

общее решение неоднородной системы линейных уравнений.


1. Контрольный опрос: [1], c. 235 и 247.


2. Условия совместности: [1], примеры 11.4, 11.5


3. Однородные системы линейных уравнений: [1], примеры 11.6, 11.7.

4. Неоднородные системы линейных уравнений: [1], примеры 12.1, 12.2.

Задание на дом:


1. Подготовиться к коллоквиуму (контрольной работе) ``Линейная алгебра"

по образцу: [1], с. 315.

Ответить на вопросы: [1], с. 290-293.


2. Изучить решение примеров 11.1-11.3 ([1], с. 235-239).


3. Решить задачи 11.1, 11.5, 11.6, 12.1, 12.3 и упражнения 11.3, 11.4,

11.8 , 12.6, 12.7 ([1], с. 232-233, 257-259) и 1-2 ([2], разд.2.4, с.51).


4. Решить задачи с помощью компьютера 11.2, 11.7 и 12.4, 12.5 ([1],

с. 245-246 и 258) и 3-4 ([2], разд.2.4, с.51).


5. Оформить для сдачи преподавателю на электронном или

бумажном носителе ТР X "Линейная алгебра"~[3],

задачи 1, 3(а,б), 5, 6, 8 (По усмотрению преподавателя ТР можно

разрешить оформить в шаблонах решебника и сдать в распечатанном виде или

послать по электронной почте для проверки лектору по адресу

KirillovAI@mpei.ru с указанием Ф.И.О., N варианта, N группы и N лицензии).


Компьютер можно использовать для приведения матриц к гауссову виду.


13 занятие. Коллоквиум (контрольная работа) по линейной алгебре.


Задание на дом:


1. Изучить лекцию 10 ``Собственные значения и собственные векторы

линейного оператора": [1], с.~84-89. Ответить на вопросы на с. 80-90.


14 занятие. Собственные значения и собственные векторы

линейного оператора.


13 и 14 занятия по книге [1] можно объединить

в одно занятие или задать материал 14 занятия для самостоятельного изучения.


Цель занятия: изучить понятия собственного вектора и собственного

значения линейного оператора, научиться находить собственные

векторы и собственные значения линейного оператора по его матрице.


1. Контрольный опрос: [1], с. 260.


2. Определение собственного значения и собственного вектора: [1],

примеры 13.1, 13.2.


3. Отыскание собственных значений и собственных векторов оператора

по его матрице: [1], пример 13.3.


Задание на дом:


1. Изучить лекцию~11 "Обратный оператор и обратная матрица"

[1], с.~91-98. Ответить на вопросы на с. 99.


2. Изучить решение примеров 13.4 ([1], с. 263-264)

и план решения и пример разд. 2.10 ([2], с.~68-69).


3. Решить задачи 13.1--13.5 и упражнения 13.7-13.9 ([1], с. 265-266).


4. Решить задачи с помощью компьютера 13.6 ([1], с. 265)

и 1-3 ([2], разд. 2.10, с.~68--69).


5. Решить задачу 9 ТР X "Линейная алгебра"~[3].


6. Оформить отчет о выполнении задания.

Компьютер можно использовать для решения характеристического уравнения

и приведения матриц к гауссову виду.


15 занятие. Обратный оператор и его матрица. Преобразование координат

вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису.


Цель занятия: научиться находить оператор, обратный данному,

используя метод Гаусса для вычисления обратной матрицы;

изучить понятие матрицы перехода к новому базису и использовать

матрицу перехода для нахождения координат вектора и матрицы

линейного оператора в новом базисе.


1. Контрольный опрос: [1], с. 267.


2. Обратный оператор и его матрица: [1], пример 14.1.


3. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису:

[1], пример 14.2.


4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису:

[1], пример 14.3.


Задание на дом:


1. Изучить лекцию 15 "Кривые и поверхности 2-го порядка"

[1], с.~123-136. Ответить на вопросы на с. 136-137.


2. Изучить решение примеров 14.4 ([1], с. 271-272)

и планы решения и примеры разд. 2.8, 2.9 ([2], с.~62-63, 64-66).


3. Решить задачи 14.1, 14.3, 14.5 и упражнение 14.7 ([1], с. 272-273).


4. Решить задачи с помощью компьютера 14.4, 14.6 ([1], с. 273)

и 1-3 ([2], разд. 2.8, с.~64) и 1-2 ([2], разд. 2.9, с.~67).


5. Решить задачи 4, 7 ТР X "Линейная алгебра"~[3].


6. Оформить отчет о выполнении задания.

Компьютер можно использовать для нахождения обратной матрицы.


16 занятие. Кривые и поверхности 2-го порядка.


Цель занятия:

научиться приводить уравнение к каноническому виду и

определять, какую кривую или поверхность определяет данное

уравнение, находить их параметры и изображать на чертеже;

научиться использовать метод сечений для исследования формы

поверхностей.


1. Контрольный опрос: [1], с. 274.


2. Кривые 2-го порядка: [1], примеры 15.1-15.10.


3. Поверхности 2-го порядка: [1], примеры 15.11-15.14.


Задание на дом:


1. Подготовиться к зачетной работе по образцу:

[1], с.~317-319.


2. Решить задачи 15.1-15.15 ([1], с. 281-283).


3. Оформить для сдачи преподавателю на электронном или

бумажном носителе задачи 4, 7 и 9 ТР X "Линейная алгебра"~[3].

(По усмотрению преподавателя ТР можно

разрешить оформить в шаблонах решебника и сдать в распечатанном виде или

послать по электронной почте для проверки лектору по адресу

KirillovAI@mpei.ru с указанием Ф.И.О., N варианта, N группы и N лицензии).


17 занятие. Зачетная работа.}


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


[1.] О.В. Зимина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Учебный комплекс. М.: Изд-во МЭИ, 2000.

[2.] О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова.

Высшая математика (Решебник). М.: Наука, 2000.

[3.] Л.А. Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике

(типовые расчеты). М.: Высшая школа, 1986.