velikol.ru
1

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов № 1

пгт Даровской Кировской области


ПРИНЯТО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ

На заседании школьного Зам. директора по УВР Директор школы

методического объединения ________/Арзамазова Н.А./ ______/Поздина В.А./

«__»___________20___г. «___»_________20___г. «__»_______20__г.

Руководитель ШМО

____________/Жилина Т.В./


Рабочая программа элективного курса по алгебре

«Функции, их графики и свойства»

9 класс


Разработана

Мансуровой Натальей Юрьевной, учителем математики второй

квалификационной категории


пгт Даровской

2009-2010 уч. год


^ Пояснительная записка

В жизни мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Эти зависимости наиболее полно отражаются с помощью графиков. В курсе школьной программы идёт изучение функциональных зависимостей одних величин от других, изучение свойств этих зависимостей. Но чаще всего эта тема раскрывается неполно в связи с нехваткой времени, отводимого на изучение темы. Количество отводимых часов не позволяет показать всё многообразие задач по этой теме, научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функций. Однако в тестах по итоговой аттестации 9 и 11 классов уделяется большое внимание проверке умений читать по графику свойства функций, использовать их при решении других заданий.

Данный курс составлен на основе программы элективного курса по математике «Графики улыбаются», опубликованной в сборнике «Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов», автор-составитель М.Е. Козина, издательство «Учитель», Волгоград, 2007 год. Он развивает систему ранее приобретённых программных знаний, расширяет и углубляет курс математики основной школы.

Цель программы – создание условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в усвоении математического материала на основе расширения представлений о графиках основных функций.

Задачи:

- закрепление знаний учащихся о функциональных зависимостях, методах их задания и способах построения, свойствах основных функций;

- расширение представлений о видах функций и их свойствах: функции y=sin x, y=cos x,

y=tg x, y=ctg x;

- формирование умения «читать» графики, определять свойства функций.

Курс рассчитан на учащихся 9 классов. Продолжительность курса 8 часов. Программа предусматривает разные типы занятий: уроки-лекции, уроки-практикумы, урок-семинар. Контроль над усвоением содержания курса проводится в форме зачётных заданий (тестов) по отдельным темам и на итоговом занятии-семинаре.

В результате изучения курса учащиеся смогут получить новые знания о тригонометрических функциях и их свойствах, закрепить умения строить графики различных функций, определять их свойства, использовать геометрические преобразования при построении графиков различных функций (смещение вдоль осей координат, деформация графиков). Введение материала о тригонометрических функциях выполняется на основе знаний учащихся о функциях из курса геометрии 8 класса.


^ Учебный план



Наименование разделов

Кол-во часов

1

Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности)

1

2

Функции у=|х|, у=√х, у=х3, их свойства, преобразования графиков

2

3

Тригонометрические функции, построение и преобразования графиков, свойства

2

4

Графики кусочно-заданных функций

2

5

Итоговое занятие-семинар

1



^ Содержание программы

1.Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности)

Цель: актуализировать и закрепить знания учащихся по видам функций, способам их задания, геометрическим преобразованиям, свойствам отдельных функций.

На первом занятии необходимо провести с учащимися беседу о целях и задачах курса, о важности материала для итоговой аттестации как в основной так и в средней школе; рассказать о структуре курса, объяснить, как получить зачёт. Систематизировать знания о способах задания функции (словесный, табличный, аналитический и графический), о видах функции, функциональной символике. При необходимости провести тестирование учащихся по проверке базовых знаний.

Работу учащихся можно организовать (при наличии времени) по отдельным группам: группа линейной функции, группа квадратичной функции, группа функции обратной пропорциональности. Так как материал учащимся знаком, можно организовать его обобщение с помощью детей: группы готовят материал по истории функции, применении её в жизни человека, о преобразовании графиков функции, на готовых примерах объясняют свойства (область определения, множество значений, возрастание, убывание функций, нули функции, чётность, нечётность, выпуклость, наименьшее и наибольшее значения, ограниченность). Учитель контролирует материал, который дают группы, задаёт провокационные вопросы и задания повышенного уровня сложности, проводит индивидуальное или групповое консультирование.


2. Функции у=|х|, у=√х, их свойства, преобразование графиков

Цель: закрепить и расширить знания учащихся о данных функциях, их свойствах и геометрических преобразованиях, научить применять их к построению более сложных графиков (с модулем и квадратным корнем).

В зависимости от времени проведения курса и знаний, имеющихся у учащихся (разные учебники имеют разное планирование материала), работу по этому блоку можно построить в виде лекции или беседы с последующей практической работой. Необходимо дать учащимся основные правила построения графиков функции с модулем: у=|f(x)|, y=f(|x|), y=|f(|x|)|, |y|=f(x), пояснить последовательность применения правил при выпол-нении построения. Можно дать понятие обратной функции на примере функций у=х2 и у=√х и провести тест по усвоению данного материала.


^ 3. Тригонометрические функции, построение и преобразования графиков, свойства

Цель: познакомить учащихся с построением графиков тригонометрических функций, геометрическими преобразованиями данных графиков, некоторыми свойствами функций.

Материал даётся в виде лекции, начиная с единичной окружности, на которой необходимо показать значение полуокружности, четверти и др. (π, 2π, π/2, π/3, π/4, π/6, 3π/2), дать понятие синуса как ординаты точки, а косинуса как абсциссы. Выполнить построение графиков в системе координат с пояснением расположения основных точек, необходимых для построения, дать понятие периода и показать его на графике. Геометрические преобразования начать с простого переноса осей плоскости на определённое количество клеток. После этого выяснить изменения в записи формул и соотнести их с записями формул других функций. Деформацию графиков рассмотреть через период функций: увеличение или уменьшение в зависимости от коэффициента. Функции у=tg x и у=ctg x изучаются позднее, так как имеют свои особенности. Необходимо ввести понятие асимптоты и обратить внимание на различия графиков. Свойства данных функций в полном объёме давать не следует, разобрать только основные.


^ 4. Графики кусочно-заданных функций

Цель: закрепить умения строить графики кусочно-элементарных функций, понять необходимость их применения.

В данном блоке необходимо дать понятие кусочно-элементарной функции, выполнение условий согласования (разрыв в точках перехода), некоторые свойства, показать возможность рисовать с помощью этих графиков.

^ Учебно-тематическое планирование




Название темы

Кол-во часов

Виды деят-ти

1

Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства

1

Беседа,

тестирование,

практикум (творческие отчёты групп)

1.1

Функциональная символика, виды функций, способы их задания.

1.2

Линейная, квадратичная функции, функция обратной пропорциональности

1.3

Геометрические преобразования графиков, свойства функций

2

Функции у=|х|, у=√х, их свойства, преобразования графиков

2




2.1

Построение графиков функций, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований, свойства

1

Беседа, практикум

2.2

Построение и преобразование графиков функций, содержащих знак квадратного корня, свойства данной функции, определение обратной функции

1

Беседа, практикум, тестирование

3

Тригонометрические функции, построение и преобразование графиков, свойства

2




3.1

Функции у=sin x, y=cos x

Преобразования графиков, их основные свойства, деформация графиков

1

Лекция

Практикум

3.2

Функции y=tg x, y=ctg x

Преобразования графиков, их основные свойства, деформация графиков

1

Лекция

Практикум

4

Графики кусочно-заданных функций

2




4.1

Построение графиков кусочно-заданных функций, отдельные свойства

1

Беседа, практикум

4.2

Рисование с помощью графиков

1

Практикум

5

Итоговое занятие

1

Семинар



Дидактический материал


1 блок

1. Постройте графики функций в одной системе координат:

  • у=(3-х)/2 и у=0,5х+1,5 и сделайте вывод по взаимному расположению графиков;

  • у=(х-6)/3 и у=1/3х+4 и составьте ещё несколько формул подобного расположения графиков функций;

  • у=(х2-2х)/(12-6х), при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

  • у=(х2-5х+6)/2-х, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения.

  • у=6/х; у=6/х-1; у=6/х+1 и сделайте вывод о взаимном расположении графиков;

  • у=6/(х-1); у=6/(х+1); у=6/(х-1)+1; у=6/(х+1)-1 и составьте ещё несколько формул подобного расположения;

  • у=х2, у=х2-3, у=х2+4, у=(х-3)2, у=(х+4)2, у=(х-3)2+4, определите известные вам свойства последней функции;

2. Определите:

  • область определения функции, заданной формулой: у=х/(х-1); у=1/х(х+4); у=6

  • чётная или нечётная функция f(х)=5х2-2; f(x)=8x3-2x; f(x)=(x-1)2+(x+1)2;

f(x)=1/(x2-1); f(x)=1/(x7-x3)

  • промежутки возрастания и убывания функции у=5/(2х+1); у=3х2-4х+7;

  • ограничены ли функции у=3х-х2; у=2х-1; у=х2-4;

  • нули функции и промежутки знакопостоянства у=(х2-9х+14)/х.



2 блок

1. Постройте график функции и сделайте вывод о взаимном расположении графиков:

  • у=|х|; у=|х-3|; у=|х+3|; у=|х|-3; у=|х|+3; у=-3|х|; у=|х-3|+3;

  • у=|2х-3|; у=|3-х2|; у=|(|х|-3)2-2|; |у|=2х2-5;

  • у=√х; у=√х-3; у=√(х-3); у=3√х;

  • у=х3+4; у=-х3-2; у=(х-2)3; у=2(х-2)3+1

2. Исследуйте функцию:

  • у=√(4-х2); у=√(х2-16)

  • у=х2-2|х|-3; у=|х2+2х-3|

  • у=-2х3+1; у=(х+1)3-2


3 блок

1. Постройте график функции:

  • у=sin x и выполните перемещение графика вдоль оси х на π/6 вправо и на 2 вверх; запишите данное преобразование формулой получившегося графика;

  • у=cos x, выполните сжатие графика вдоль оси х в 2 раза;

  • y=2sin x-3; определите период и промежутки знакопостоянства;

  • у=0,5cos (2x+π/4)-1, определите область определения и множество значений функции;

  • у=-sin х и у=-cos x определите свойства;

  • у=tg x и выполните перемещение графика вдоль оси х на π/3 вправо и на 1 вниз; запишите данное преобразование формулой;

  • у=ctg x, выполните перемещение вдоль оси х на π/6 влево и на 1 вверх;

  • у=tg(х+π/4)+2, определите область определения и нули функции;

  • у=ctg(х-π/3), определите множество значений функции, период.



2. Запишите формулы изображённых графиков функций:







4 блок

  • постройте график кусочной функции






у= у=





у= у=





у= у=








у= у=



  • задайте функции у=х+|х-2|-|х| и у=|х+1|+|х|-|х-2| в виде кусочно-линейной и постройте графики




  • запишите формулу функции, заданной графиком





а) б)



  • выполните построение графиков функций в одной системе координат

у=0,2х2-6, при -4≤х≤7; у=0,5х2-3, при -2≤х≤3; у=-(х+1)2-7, при -2≤х≤0;

у=-(х-1)2-7, при 0≤х≤2; у=-(х+5)2-2, при -7≤х≤-4; у=(х+6)2-6, при -7≤х≤-4;

|х|=2, при -8≤у≤-5,7; у=7х/11-5/11, при -4≤х≤7.


Тесты

Тест №1.

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у=1/х-3; б) у=х-3; в) у=х2-3.

2. Область определения функции у=√(х-4)

а) х≥4; б) х≤4; в) х≥0.

3. Найдите значение функции у=1/(х-3)+1 при х=-2:

а) 0,8; б) 0; в) -2.

4. График функцииу=4/х называется:

а) прямой; б) гипербола; в) парабола.

5. Какой из графиков параллелен прямой у=-х:

а) х-у=3; б) у=1-х; в) 2х-3у-1=0.

6. Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой:

а) у=2/х; б) у=2х; в) у=2-х2; г) у=2х+2


7. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у=-4х-1 и у=2х+5:

а) (0;5) б) (1;7) в) (-1;3).

8. Функция у=6/х при х≥0:

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

9. Какому из графиков принадлежит точка М(-2;-4):

а) у=2х2; б) у=1х3/2; в) у=6/х.


Тест №2

1. Угловой коэффициент линейной функции 3х-2у-4=0 равен:

а) 2/3; б) 3/2; в) -2/3; г) -3/2.


2. Найдите найбольшее значение линейной функции у=3-2х на отрезке [2;4]:

а) 11; б) 7; в) -5; г) -1.

3. Какая из перечисленных функций является ограниченной снизу:

а) у=-2х2-5х+3; б) у=3х2-1; в) у=-3х2+х+1; г) у=2/х+2.

4. Уравнение оси симметрии параболы у=2х2-7х+1 имеет вид:

а) х=4/7; б) х=7/4; в) х=-4/7; г) х=-7/4.

5. Найдите значения b, при которых парабола у= 2х2+bх+18 касается оси х. Для каждого значения b определите координаты точки касания.


6. Вычислите значение функции у=х/(х2-1) в точке х=2:

а) 3/2; б) 2/3; в) 2; г)2/5.

7. Прямая 3х+2у=с, где с – некоторое число, касается гиперболы у=6/х в точке с положительными координатами. Вычислите координаты точки касания.


Тест №3

1. Найдите недостающую координату точки Р(х;3), если она принадлежит графику функции у=√х/(√х-1):

а) 9/4; б) √2; в) 4/9; г) ½.

2. Найдите область определения функции у=√(1-х):

а) (-1;+∞); б)[1;+∞); в) (-∞; 1]; г) (-∞;-1].

3. Исследуйте функцию у-х/|х| на чётность и ограниченность:

а) чётная и ограниченная; в) нечётная и ограниченная;

в) чётная и неограниченная; г) нечётная и неограниченная.

4. Найдите наибольшее значение функции у = -х3 на отрезке [-2;1]:

а) 6; б) 0; в) 1; г)8.

5. найдите область определения функции



у=


а) (0; +∞); б) [0; +∞); в) (-∞; +∞); г) (-∞; 0) и (0; +∞).

6. Точка М(2; 4) принадлежит графику у=f(х). Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.


Функции/точки

(2;4)

(-2; 4)

(2; -4)

(-2; -4)

у=|f(x)|













у=f(|x|)













|y|=f(x)













y=|f(|x|)|













|y|=f(|x|)













|y|=|f(x)|















Тест №4

1. Найдите область определения функции у = (3х-7)/cos x:

а) (-∞;+∞); б) (-∞;0) и (0;+∞); в) х≠π/2+πk; г) х≠πk

2. найти множество значений функции у=-2sin 5x:

а) [-10; 10]; б) [-5; 5]; в) [-2; 2]; г) [-2; 0]

3. Определите графики каких функций изображены на данном чертеже:




4. Выполните построение графика функции у=3sin(х/2)-2.

5. Завершите запись формулы у=…tg x так, чтобы получившаяся функция оказалась чётной.

6. Выполните построение графика гармонического колебания у= 0,5sin2(х+π/3).

7. Постройте график функции у=2cosх+1. По графику найдите промежутки возрастания и убывания функции.


Задания для семинара

1. Прямая у=-2х+2 пересекает прямую у=х и ось абсцисс в точках А и В соответственно. Найдите площадь треугольника АВО, где О – начало координат.

2. Прямая проходит через точку (0;3) и касается гиперболы у=3/х. В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс.

3. Постройте график функции у=f(x), где

f(x)=


При каких значениях m прямая у= m имеет с графиком этой функции одну общую точку.

4. Установите истинность высказываний:

  • множество значений функции у=|х|-2 является промежуток [-2; +∞)

  • функция у=3х4+5/х2-8|х| - чётная

  • функция у=1/х3 – ограниченная

  • функция у=18/х убывает на промежутке(-∞; 0) и на промежутке (0;+∞)

  • функция у=х2-7х+10 имеет нули х=2, х=5

  • функция у=-8/х возрастает на промежутке (0;+∞)

  • период функции у=sin x равен 2π

5. Установите чётность, нечётность данных функций:




6. Найдите наибольшее значение функции у=-х+4√х+1. При каком значении аргумента оно достигается.

7. Постройте график функции у=|х2-2х-3|. Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у=m.


Требования к усвоению курса

Учащиеся должны знать:

- метод геометрических преобразований.

Учащиеся должны уметь:

-применять метод геометрических преобразований на примере различных графиков функций;

-строить графики, содержащие модуль;

-строить графики тригонометрических функций


Литература

1. Маркова В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В. И.Маркова.-Киров: КИПК и ПРО, 2006

2. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: Учеб.-метод. Пособие / А.Г. Мордкович.-2-е изд., доп. и перераб.- М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005

3. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1992

4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций / Издательство «Высшая школа» Москва-1967

5.Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. / [Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2008

6. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып. 2 / авт.-сост. М.Е. Козина. – Волгоград: Учитель, 2007