velikol.ru
1

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА


§ Понятие предела функции в точке


Определение понятия
функции
одного
аргумента


Если каждому элементу х из множества Х () поставлен в соответствие определенный элемент y из множества Y (), то говорят, что на множестве Х задана функция со значениями во множестве Y.

Элементы называют значениями аргумента, а элементы  значениями функции.

Множество ^ Х называется областью определения функции, а множество всех значений функции – областью значений функции.

В случаях, когда множества Х и Y  числовые множества, соответствующие функции, называют числовыми функциями.




^ Основные элементарные функции

Степенная ,

Показательная ,

Логарифмическая ,

Тригонометрические ,

Обратные тригонометрические

,

постоянная .




^ Определение элементарных функций

Элементарными называют функции, которые получаются из основных элементарных функций в результате применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции) функций.




^ Определение предела функции f(x) в точке

x = a.



Число A называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , следует выполнение неравенства .

Используя логические символы, можно записать:





^ Геометрический смысл этого определения заключается в следующем.

Какую бы узенькую полоску шириной 2, параллельную оси абсцисс и содержащую прямую y = A посередине

( окрестность точки y = A: ),

мы ни выделили, всегда существует такой симметричный интервал длиной 2 с центром в точке х = а,

(проколотая  окрестность точки х = а: ),

что для всех х из проколотой  окрестности точки х = а

значения функции f (x) попадают в  окрестность точки

y = A:







Для любого ипсилон больше нуля положительное дельта найдется,

Такое, что если х из проколотой дельта – окрестности точки а любой берется,

Значение функции f(х) в эпсилон – окрестность точки А попадется.



^ Определение предела справа для функции f(x):



Число A называется пределом справа для функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , следует выполнение неравенства .

Используя логические символы, можно записать:




Точки х берутся справа от точки х = а.

Правосторонний предел обозначают также .


^

Определение предела слева для функции f(x):




Число A называется пределом слева функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству: , следует выполнение неравенства: .

Используя логические символы, можно записать:




Точки х берутся слева от точки х = а.

Левосторонний предел обозначают также .

^ Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предела А функции f(x) в точке

х = а


Предел А функции f (x) в точке х = а существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы этой функции в точке

х = а и эти односторонние пределы равны между собой:

, или




^ Определение непрерывной в точке х = x0 функции

Функция f(x) называется непрерывной

в точке

х0 , если предел функции в точке

x = х0 равен значению функции в этой точке:

.




Три условия для непрерывной в точке x = х0 функции

  1. Функция f (x) определена в точке x= х0.

  2. Существует предел функции f(x) при х0.

  3. Предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x) в этой точке.




^ Теорема о непрерывности элементарных функций

Все элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций.



Из теоремы о непрерывности элементарных функций и определения непрерывной функции в точке х = а следует, что при вычислении предела элементарной функции, прежде всего, вместо х нужно подставить точку а

в выражение, задающее эту функцию f (х).

Если при этом получается число А, то оно и является пределом данной

функции f (х) в данной точке х = а (при ха), то есть

f (x) = f (a) = A.


Например, .


Но очень часто, подставляя точку х = а в выражение, задающее функцию f(x), получают неопределенности одного из следующих видов:




Такого вида неопределенности следует раскрывать при помощи соответствующих различных приемов.

§ Вычисление пределов



c = const ≠ 0,

b = const ≠ 0

№ n/n

Вид функции f(x)

Какие преобразования
нужно сделать

Результат
преобразований



1







Разделить многочлены Pn(x) и Qm(x) на разность (х  а), сократить f(x) на эту разность (х  а) и подставить вместо х значение

х = а.







– повторить

прием



2

Функция f(x) содержит иррациональность вида



Умножить и разделить функцию f(x) на сопряженное иррациональное выражение

,

использовать формулу

сокращенного умножения

(А–В)(А+В)=А2–В2 и

сократить f(x) на

разность (х – а).




------ // ------



3

Функция f(x) содержит иррациональность вида



или



Умножить и разделить разность кубических корней на неполный квадрат суммы, а сумму кубических корней – на неполный квадрат разности, воспользоваться формулами сокращенного умножения:

(А–В)(А2+АВ+В2)=А3–В3;

(А+В)(А2– АВ+В2)=А33

и сократить функцию f(x) на разность (х – а).







– повторить

прием





Замечание.

При делении многочлена Pn(x) или Qm(x) на разность (ха) опираются на теорему Безу: если число х = а является корнем многочлена (при х = а многочлен равен нулю), то этот многочлен делится на разность (х – а) без остатка.

Деление многочлена на разность (х – а) осуществляется по тем же правилам, по которым делятся столбиком числа:

_a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an x  a

a0xn aa0xn-1 a0xn-1 + (a1 + aa0)xn-2 + … = Pn-1(x)

_ (а1 + aa0)xn-1 + a2xn-2

(a1 + aa0)xn-1 – a(a1 + aa0)xn-2

_ (a2 + a(a1 + aa0))xn-2 + a3xn-3

……………………………

……………………………

0

Обратите внимание на то, что индекс в обозначении многочлена соответствует старшей степени х этого многочлена.

В результате деления получим представление многочлена Рn (х) в виде произведения многочлена

Pn-1 (x) на разность (x–a) :

Рn(x) = (x – а) Рn-1(х).

§ Предел дробно-рациональной функции при


=


Определение предела функции при

Число А называется пределом функции y = f(x) при стремлении х к бесконечности, если для любого положительного сколь угодно малого числа существует сколь угодно большое положительное число M, что для всех х из области определения функции из выполнения неравенства следует выполнение неравенства . То есть





В частности, если , то




если же , тогда




Неравенство  эквивалентно системе двух неравенств: .




^

Предел отношения многочленов зависит от порядка многочленов, который определяется по старшей степени аргумента этих многочленов.

То есть, если


, х, то:

1) m > n 0, ;

  1. n = m 0, ;

3) n > m 0,


Более того, если функция f(x) представляет собой отношение линейных комбинаций степенных функций, показатели которых неотрицательны (то есть m и n не обязательно целые, но обязательно неотрицательные), то при можно оставить в числителе и в знаменателе только слагаемые наибольших степеней х, а остальными пренебречь. Предел функции при из-за отбрасывания слагаемых, содержащих меньшие степени х (в том числе и х0 = 1), не изменяется, то есть

,

где n > n1 > n2 > … 0, m > m1 > m2 > … 0 (слагаемые записываются в порядке убывания степеней х).


Предел функции при х

  1. n > m 0

  2. n = m 0

  3. m > n 0



Пусть f(x) = qx, q = const.

Предел этой функции, если

  1. |q| < 1 0;

  2. q = 1 1;

  3. 1 < q < ;

  4. < q 1 не существует.



^

§ Бесконечно малые функции. Первый и второй замечательные пределы





Определение бесконечно малой функции

Функция называется бесконечно малой при , если предел этой функции равен нулю при :

.




Аналогично определяются бесконечно малые функции при и при :

.


Теорема о первом
замечательном пределе


Предел функции при существует и равен единице: .




Теорема о втором замечательном пределе

Предел функции , если , и функции , если , существует и равен числу :

.




^

§Сравнение бесконечно малых функций



Пусть (х) и (х) – бесконечно малые функции (б. м. ф.)

при х а, то есть , тогда:

  1. (х) – б. м. ф. более высокого порядка малости по сравнению с (х) – б. м. ф.

при х а, если

;

  1. (х) – б. м. ф. более низкого порядка малости по сравнению с (х) – б. м. ф.

при х а, если

;

  1. (х) и (х) – б. м. ф. одинакового порядка малости

при х а, если


;

  1. (х) и (х) – б. м. ф., эквивалентные при х а, если

(x)~(x);

  1. (х) – б. м. ф. k-го порядка малости по сравнению с (х) –

б. м. ф. при х а, если

.



^ Теорема о пределе
отношения двух
бесконечно малых
функций


Если б.м.ф. эквивалентна б.м.ф. :

(x) ~ 1(x); а б.м.ф. эквивалентна б.м.ф. : (x) ~ 1(x) при , и существует , то существует и , причем имеет место равенство:

.



Применение первого и второго замечательных пределов позволяет доказать справедливость формул в таблице эквивалентных бесконечно малых функций при х а.




1



~

6

~

2

~



~

3

~

7

~

4

~



~

5

~

8

~



Например, вычислим .

Так как при ~ 2х, ~ , то имеет место

равенство: .


Замечание. В случаях, когда аргумент α (х) функции в вычисляемом пределе стремится не к нулю, а к отличному от нуля числу, например, α (х) а, а0, вводят новую переменную

t = α(х) – а.

Тогда, если α(х) а, то t 0 (функция t(х) должна быть непрерывной функцией в окрестности точки t = 0 ).

Новая переменная t 0 (при α(х) а), и для нее легко можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых функций.

Например, вычислим предел

Предварительно сделаем следующие преобразования:





при

и воспользуемся результатами преобразований:

=

§ Бесконечно большие функции и их пределы


^ Определение бесконечно большой функции

Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большого положительного числа ^ L существует такое положительное число , зависящее от L , что для всех х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . При этом пишут: ; это и означает, что функция f(x) является бесконечно большой.




То есть при стремлении значений х к точке х = а значения функции

f (x) становятся больше сколь угодно большого предварительно заданного ч
исла L.


^ Бесконечно большие функции (б. б. ф.), так же как и бесконечно малые, можно сравнивать между собой.

Если предел отношения двух бесконечно больших функций равен:

  1. Бесконечности, тогда в числителе – б. б. ф. более высокого порядка роста;

  2. Нулю, тогда в числителе – б. б. ф. более низкого порядка роста;

  3. Постоянному числу, не равному нулю или единице, тогда эти бесконечно большие функции одинакового порядка роста;

  4. Единице, тогда бесконечно большие функции эквивалентны.

Полезно иметь в виду, что при вычислении пределов отношений конечного числа б. б. ф. складываемых функций слагаемые более низкого порядка роста можно отбрасывать, а сумму заменять слагаемым самого высокого порядка роста.

При самый высокий порядок роста имеет показательная функция ; степенная функция имеет порядок роста, более низкий по сравнению с показательной функцией, но более высокий по сравнению с логарифмической; логарифмическая функция имеет самый низкий порядок роста по сравнению и с показательной функцией, и со степенной. Это обозначают так:


, при .


Очень эффективным при вычислении пределов оказывается применение следующих правил:

        1. Предел отношения б. м. ф. (б. б. ф.) не изменится, если заменить эти функции эквивалентными.

        2. Разность эквивалентных б. м. ф. (б. б. ф.) есть б. м. ф. (б. б. ф.) более высокого порядка малости (роста) по сравнению с уменьшаемой и вычитаемой б. м. ф. (б. б. ф.).

        3. Сумма конечного числа б. м. (б. б.) слагаемых разного порядка малости (роста) эквивалентна слагаемому самого низкого (высокого) порядка малости (роста).

        4. Если б. м. ф. α (x) ~ α1(x) при xa, A=const ≠ 0, то A+ α (x) ~ A+ α1(x) при xa.


Например. 1) .


2)



3)



Иногда приходится возводить сумму или разность в более высокие степени, чем вторая или третья. Коэффициенты в соответствующих формулах можно найти, например, из треугольника Паскаля:


1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Легко заметить, что сумма двух соседних коэффициентов предыдущей строки треугольника Паскаля равна соответствующему коэффициенту следующей строки.


Полезно помнить, что при вычислении пределов сумм бесконечно больших функций важно обращать внимание на старшие степени переменных, которые не сокращаются, а остальными  пренебрегать. Поэтому первым слагаемым удобнее записывать переменную.

Например,




При возведении разности в скобках в четную степень умножение разности на (-1) не изменяет знака перед скобками. При возведении в нечетную степень – приводит к изменению знака перед скобками.

Например,





Чтобы вычислить предел ,

можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством

.


Например. .


Если же , то есть в случае неопределенность вида,

можно применить следующую последовательность тождественных преобразований:

.


Например. .

§ Исследование функции на непрерывность


^ Определение непрерывной в точке х = x0 функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке

х0 , если предел функции в точке

x = х0 равен значению функции в этой точке:

.



^ Три условия для непрерывной в точке x = х0 функции

1) функция f (x) определена в точке x= х0.;

2) существует предел функции f(x)

при х0;

3) предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x)

в этой точке.




^ Теорема о непрерывности элементарных функций

Все элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций.




^ Определение непрерывной на интервале (а, b) функции

Функция называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.




^ Определение непрерывной на отрезке функции

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале (a, b) и в точке

х = а – справа (), а в точке

х = b – слева ().




^ Определение точек разрыва функции

Точки, в которых нарушается хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называются точками разрыва графика функции, или просто точками разрыва.




^ Определение точек устранимого разрыва функции

Односторонние пределы функции в исследуемой точке конечны и равны между собой. В самой точке функция не определена или не задана.




^ Определение точек разрыва первого рода функции

Односторонние пределы функции в исследуемой точке конечны,

но не равны между собой.



^

Определение точек разрыва второго рода функции


Хотя бы один из односторонних пределов функции в исследуемой точке равен бесконечности

или не существует.


. Элементарные функции терпят разрыв в точках,

не принадлежащих области их определения.


Для исследования элементарной функции на непрерывность можно применить такой план:

  1. Найти точки, которые не принадлежат области определения данной функции.

  2. Вычислить односторонние пределы функции в этих точках.

  3. Сделать вывод о характере разрыва функции в исследуемых точках.



Например, исследуем на непрерывность функцию .

  1. Функция определена на интервалах .

В точках х = 1 и х = 0 знаменатель функции обращается в нуль, следовательно, эти точки не принадлежат области определения данной функция и являются точками разрыва функции.

  1. Найдем односторонние пределы данной функции в точках разрыва функции.

х = –1: .

Число положительное, так как для всех вещественных значений аргумента х.




х = 0:

Функции и  четные, поэтому пределы функции f(x) будут одинаковыми при и .

Если , то функция является бесконечно малой, и ее можно заменить эквивалентной функцией: ~;

.


Замечание. Если доопределить данную функцию в точке х = 0 значением, равным ее пределу в этой точке, то функция станет непрерывной в точке х = 0. То есть разрыв можно устранить, но получится уже другая функция:




  1. В соответствии с классификацией точек разрыва функции делаем вывод о том, что:

в точке х = 1 функция терпит разрыв второго рода,

а в точке х = 0 имеет устранимый разрыв.


Элементарные функции терпят разрыв в точках, не принадлежащих области их определения.

Функция называется кусочно-аналитической, если она состоит из «кусочков» аналитических, то есть элементарных, функций и не является элементарной.

Такая функция может иметь разрыв в точках, где эта функция не определена, а также в точках, где происходит переход от одного аналитического задания функции к другому (от одной формулы к другой) – это точки, «подозрительные» на разрыв. В точке, «подозрительной» на разрыв, функция может оказаться непрерывной, если в этой точке выполняются все три условия непрерывности функции:

1) функция f (x) определена в точке x= х0.;

2) существует предел функции f(x) при х0;

3) предел функции f(x) в точке x= х0 совпадает со значением функции f(x) в этой точке.


Для исследования кусочно-аналитической функции на непрерывность можно предложить такой план:


  1. Найти точки, в которых данная функция не определена – точки разрыва графика функции.

  2. Указать точки, в которых происходит переход от одной формулы задания функции к другой формуле,  точки, «подозрительные» на разрыв.

  3. Вычислить односторонние пределы функции во всех этих точках (найденных по предыдущим двум пунктам плана).

  4. Сделать вывод о характере разрыва или о непрерывности функции в исследуемых точках.


Например, исследуем на непрерывность кусочно-аналитическую функцию




  1. Функция определена во всех точках отрезка , поэтому ее можно исследовать на непрерывность только на этом отрезке.

  2. Точка, «подозрительная» на разрыв, одна: х = 1.

  3. Вычислим односторонние пределы данной функции

в точке х = 1.

Слева от точки х = 1 функция задана при помощи основной элементарной функции , поэтому

,

как предел основной элементарной функции в точке х = 1.

Справа от точки х = 1 функция задана при помощи элементарной функции , поэтому

.

  1. В соответствии с классификацией точек разрыва функции в точке х = 1 функция терпит разрыв первого рода (случай конечного скачка):



Изобразим функцию на графике.

З
амечание.
Если бы в точке значение функции было равно двум: , то функция была бы непрерывной слева, а если бы выполнялось равенство: , то функция была бы непрерывной справа.


§ Примеры применения средств системы MathCAD