velikol.ru
1

Наименование дисциплины: Элементы алгебраической геометрии

Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор: к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и математической логики

Н.В.Тимофеева.


1. Целями освоения дисциплины «Элементы алгебраической геометрии» являются:

формирование математической культуры студента, ознакомление с фундаментальными результатами теории алгебраических многообразий, связями теории с другими областями математики (линейной алгеброй, теорией колец, аналитической и дифференциальной геометрией) для дальнейшего использования при решении теоретических и прикладных задач.


2. Дисциплина входит в вариативную часть цикла Б3. профессиональных дисциплин. Знания по основам алгебраической геометрии являются важной составляющей общей математической культуры выпускника. Эти знания интегрируют результаты из различных математических курсов, необходимы как при проведении теоретических исследований в различных областях математики, так и при решении практических задач из прикладных областей, в частности криптографии.

Содержание курса органически связано с другими дисциплинами цикла – фундаментальной и компьютерной алгеброй (в первую очередь, с разделами «Линейная алгебра», «Теория колец и полей», «Теория чисел»), аналитической и дифференциальной геометрией, математическим анализом. Также курс использует и отчасти продолжает материал дисциплины «Эллиптические кривые».

Для освоения студентом основ курса необходимы следующие знания: понятия кольца, области целостности, поля, векторного пространства, алгебры над полем, идеала, факторкольца, гомоморфизма и изоморфизма колец, ядра и образа гомоморфизма колец, теоремы об изоморфизме для колец, понятий аффинного и проективного пространств, топологического пространства,умения: строить гомоморфизмы колец, исследовать структуру факторкольца кольца многочленов над полем, находить ядро и образ гомоморфизма колец, выполнять вычисления в факторкольцах, готовность обучающегося к расширению области применения ранее полученных знаний (умений) в содержательно новых математических ситуациях, обобщению ранее полученного математического опыта.


3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:



    Знать:

    определения аффинного алгебраического многообразия, его кольца регулярных функций (координатного кольца), идеала аффинного алгебраического многообразия, рациональной функции, регулярного и рационального отображения аффинных алгебраических многообразий, определение топологии Зариского, теорему Гильберта о базисе и теорему Гильберта о нулях (Nullstellensatz), структурную теорему о конечнопорожденных коммутативных алгебрах над полем, понятие (не)приводимого топологического пространства и критерий неприводимости алгебраического многообразия, определение (квази)проективного алгебраического многообразия, регулярной и рациональной функций на проективном алгебраическом многообразии, понятие прямого произведения алгебраических многообразий, теорему о замкнутости образа проективного многообразия, отображения Веронезе и Сегре, понятие бирационального изоморфизма,о теории модулей над коммутативными кольцами, учете нильпотентов в алгебраической геометрии (на примере нульмерных схем и соответствующих им алгебр), проблемах бирациональной классификации и рациональности алгебраических многообразий, эффектах алгебраически замкнутого и алгебраически незамкнутого основного поля.

    Уметь:

    строить отображения алгебраических многообразий, заданных на плоскости и в пространстве размерности 3 (технически несложные аффинные и проективные случаи), проверять, является ли данное отображение регулярным, рациональным, изоморфным, бирационально изоморфным, находить идеал аффинного алгебраического многообразия и однородный идеал проективного многообразия, строить и исследовать структуру кольца регулярных функций для подмногообразия, заданного системой уравнений, и прямого произведения подмногообразий, исследовать на неприводимость подмногообразие, заданное системой уравнений (в технически несложных случаях).

    Владеть:

    навыками вычислений в коммутативных кольцах и алгебрах над полем, вычисления точек нерегулярности рациональной функции, проверки бирациональной изоморфности простейших подмногообразий на плоскости, поиска информации в сети Интернет.





4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.


5. Содержание дисциплины:


п/п

Раздел дисциплины

1

^ Вводные замечания. Предмет алгебра-ической геометрии. Множества точек, функции и алгебраические структуры. «Бедность» запаса алгебраических фун-кций по сравнению с непрерывными, дифференцируемыми, аналитическими. Множества решений алгебраического уравнения над различными полями могут быть различны. Неприменимость клас-сического анализа в алгебраической геометрии. Допустимость отображений, определенных «почти всюду». Приложения результатов алгебраической геометрии: алгебраическая теория чисел, топология алгебраических многообразий, теория дифференциальных уравнений в частных производных, комплексный анализ и дифференциальная геометрия, кодирование информации.

2

^ Замкнутые подмножества аффинных пространств. Понятие замкнутого подмно-жества. Топология Зарисского. Произве-дение аффинных пространств. Функция, регулярная на замкнутом множестве. Координатное кольцо замкнутого множе-ства. Идеал замкнутого подмножества аффинного пространства.

3

^ Теоремы Гильберта. Теорема о базисе. Понятие о нетеровых кольцах. Радикал идеала в коммутативном ассоциативном кольце. Теорема о нулях. Связь уравнений замкнутого подмножества аффинного про-странства с идеалом этого подмножества..

4

^ Регулярные отображения аффинных замкнутых множеств. Неприводимость. Определение и примеры регулярных ото-бражений. Связь с гомоморфизмом коорди-натных колец. Изоморфизм аффинных замкнутых множеств. Определение непри-водимого топологического пространства. Несократимое представление и неприводи-мые компоненты замкнутого множества.

5

^ Рациональные функции и рациональ-ные отображения. Поле рациональных функций неприводимого замкнутого множества. Регулярность рациональной функции в точке замкнутого множества. Область определения рациональной фун-кции. Рациональное отображение. Бира-циональный изоморфизм и его алгебра-ическая интерпретация. Структура цело-стных конечнопорожденных коммута-тивных алгебр над полем и конечно-порожденных расширений поля k.

6

^ Замкнутые подмножества проективного пространства. Определение. Идеал замк-нутого множества в проективном про-странстве. Обоснование требования одно-родности для идеалов. Случай пустого множества. Переход к аффинному покры-тию. Понятие квазипроективного много-образия.

7

^ Регулярные функции на квазипроек-тивном многообразии. Определение и его согласованность с аффинным случаем. Регулярное отображение квазипроектив-ных многообразий. Аффинные и проек-тивные алгебраические многообразия.

8

^ Рациональные функции. Определение. Поле рациональных функций неприво-димого квазипроективного многообразия. Бирациональный изоморфизм.

9

^ Примеры рациональных и регулярных отображений. Проектирование и отображение Веронезе.

10

Произведения и отображения квази-проективных многообразий. Прямое произведение и отображение Сегре. Характеризация замкнутых подмножеств в произведении проективных пространств.

11

^ Замкнутость образа проективного многообразия при регулярном отображении. Следствия: постоянство регулярной функции на проективном многообразии и постоянство регулярного отображения проективного неприводимого многообразия в аффинное многообразие. Замкнутость подмножества приводимых многочленов в проективном пространстве, порожденном однородными многочленами.

12

^ Конечные отображения. Целый элемент и целое расширение кольца. Конечное отображение аффинных многообразий. Конечность слоя конечного отображения. Эпиморфность конечного отображения. Локальность свойства конечности. Конеч-ное отображение квазипроективных много-образий. Нормализационные теоремы.



6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:


а) основная литература:

  1. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. – М.: Наука, 1972, 2002, 568 с.

  2. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. Пер. с англ. Шапиро Б.З. – М.: Мир, 1991. 151 с.

  3. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пер. с англ. Кочеткова Ю.Ю., под ред. Попова В.Л. М.: Мир, 2000, 687 с.



б) дополнительная литература:

  1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. Пер. с англ. Манина Ю.И. – М.: Мир, 1972, 157с.

  2. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пер. с англ. Кочеткова Ю.Ю., под ред. Попова В.Л. М.: Мир, 2000, 687 с.

  3. Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия, т.1. Пер. с англ. Манина Ю.И. – М.: Мир, 1979, 256 с.

  4. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. Пер. с англ. Исковских В.А. -- М.: Мир, 1981, 597 с.



в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:


  1. Орлов Д.О. Проективные плоскости и алгебраическая геометрия. Цикл лекций. http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=369&option_lang=rus

  2. Статья «Алгебраическая геометрия» http://bse.sci-lib.com/article010310.html

  3. Статья «Алгебраическое многообразие» http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/