velikol.ru
1

Наименование дисциплины: Эллиптические кривые

Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор: к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры алгебры и математической логики Н.В.Тимофеева.


1. Целями освоения дисциплины «Эллиптические кривые» являются:

формирование математической культуры студента, ознакомление с фундаментальными результатами теории эллиптических кривых, связями теории с другими областями математики (теорией чисел, теорией групп и их представлений, комплексным анализом) для дальнейшего использования при решении теоретических и прикладных задач.


2. Дисциплина входит в вариативную часть цикла Б3. профессиональных дисциплин. Знания по основам теории эллиптических кривых являются важной составляющей общей математической культуры выпускника. Эти знания необходимы как при проведении теоретических исследований в различных областях математики, так и при решении практических задач из прикладных областей, в первую очередь криптографии.

Содержание курса органически связано с другими дисциплинами цикла – фундаментальной и компьютерной алгеброй (в первую очередь, с разделами «Линейная алгебра», «Теория колец и полей», «Теория чисел»), аналитической и дифференциальной геометрией, математическим анализом.

Для освоения студентом основ курса необходимы следующие знания: понятия абелевой группы, циклической подгруппы, порядка элемента группы, гомоморфизма и изоморфизма групп, понятие поля, понятия векторного и аффинного пространств, элементов матричной алгебры, умения: находить порядок элемента в группе, ядро и образ гомоморфизма абелевых групп, выполнять вычисления с матрицами, готовность обучающегося к расширению области применения ранее полученных знаний (умений) в содержательно новых математических ситуациях.

Курс подготавливает базу для изучения курсов «Элементы алгебраической геометрии» (теоретический аспект), «Теория кодирования», «Криптография» (прикладной аспект).


3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:


    Знать:

    определения проективного пространства над произвольным полем, примеры конечных аффинной и проективной плоскостей, однородных координат, группы и действия группы на множестве, плоской алгебраической кривой, неприводимой кривой, эллиптической кривой, теорему Пуанкаре, теорему Морделла, интерпретацию эллиптической кривой как римановой поверхности рода 1.

    Иметь представление: о рациональных и нерациональных кривых, однородных пространствах, проблемах классификации в математике, эффектах конечной характеристики в геометрии, проблеме рациональных точек конечного порядка и ее значении для приложений, о теории эллиптических функций.

    Уметь:

    осуществлять переход в уравнении кривой от проективных координат к аффинным и обратно, вычислять формальные частные производные полиномиальной функции над произвольным полем, составлять уравнения для вычисления координат особых точек и точек перегиба алгебраической кривой, задавать проективные преобразования матрицами, вычислять дискриминант и j-инвариант эллиптической кривой, определять тип особой точки кубической кривой.

    Владеть:

    навыками вычислений в поле конечной характеристики, поиска информации в сети Интернет.



4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.


5. Содержание дисциплины:


п/п

Раздел дисциплины

1

^ Вводные замечания. Связи теории эллиптических кривых с алгеброй и алгебраической геометрией, теорией чисел (доказательство Уайлсом и Тейлором Великой теоремы Ферма), комплексным анализом (эллиптическая кривая над C – риманова поверхность рода 1). Приложения в области криптографии.

2

^ Элементы проективной геометрии над произвольным полем. Понятие проективного пространства над полем произвольной характеристики. Связь с расширением основного поля. Однородные координаты и стандартное аффинное покрытие. Проективное пространство как пример однородного многообразия. Задание проективных преобразований матрицами. Конечные аффинные и проективные плоскости. Однородные многочлены.

3

^ Кривые и касательные. Особые и неособые точки плоской кривой. Аффинное уравнение кривой и ее проективное замыкание. Связь с расширением основного поля. Рациональность кривой. Особые и неособые точки кривой, заданной над произвольным полем. Корректность определения (не)особой точки. Неприводимые кривые. Теорема Безу. Касательная к кривой. Формальное дифференцирование алгебры многочленов над полем. Кратность пересечения прямой и плоской кривой в точке. Случай бесконечной кратности. Точка перегиба. Матрица Гессе.

4

^ Кубические кривые. Форма Вейерштрасса кубической кривой. Эллиптическая кривая. Теорема о сумме кратностей пересечения эллиптической кривой и прямой.

5

^ Дискриминант и j-инвариант. ∆-Критерий (не)особости для кривых в форме Вейерштрасса. Его частный случай в характеристике ≠2.

6

^ Классификация эллиптических кривых. Допустимая замена переменных в уравнении Вейерштрасса. Изоморфизм эллиптических кривых. Веса коэффициентов. Классификация эллиптических кривых с малыми абсолютными значениями целочисленных коэффициентов и │∆│< 100. j-инвариант. Теорема классификации эллиптических кривых в характеристике ≠2,3.

7

^ Групповой закон на эллиптической кривой. Операция сложения точек. Теорема Пуанкаре. Вычисления с помощью закона сложения на эллиптической кривой.

8

^ Особые точки кубических кривых. Особая кубическая кривая в форме Вейерштрасса. Кривая может быть параметризована методом Диофанта. Описание множества ее неособых точек, если основное поле конечно.

9

^ Теорема Морделла о конечной порожденности группы точек эллипти-ческой кривой над полем рациональных чисел.

10

^ Рациональные точки конечного порядка. Редукция mod p. Поведение кратности пересечения плоской кривой и прямой при редукции mod p. Гомоморфизм групп Подгруппы . p-адическая фильтрация в E(Q). Теорема Лутц – Нагеля.

11

Элементы теории эллиптических функций. Параллелограмм периодов. Поле эллиптических функций с периодами и . Три теоремы Лиувилля. Порядок эллиптической функции. Функция Вейерштрасса и ее производная. Мероморфность и четность функции Вейерштрасса Теорема о представимости любой эллиптической функции f в виде , где g,h – рациональные функции. Дифферен-циальное уравнение для функции Вейерштрасса.

12

^ Эллиптические кривые над полем комплексных чисел. Теорема о представлении эллиптической кривой в виде тора. C⁄Λ. Отображение C⁄Λ→E(C) как изоморфизм групп.



6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:


а) основная литература:

  1. Болотов А.А., Гашков С.Б., Фролов А.Б., Часовских А.А. Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраический и алгоритмические основы. М: КомКнига, 2006. – 328 с.

  2. Болотов А.А., Гашков С.Б., Фролов А.Б. Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Протоколы криптографии на эллиптических кривых. М: КомКнига, 2006. – 280 с.



б) дополнительная литература:

  1. Кнэпп Э. Эллиптические кривые. Пер. с англ. Попеленского Ф.Ю. – М.: Факториал Пресс, 2004, 488 с.

  2. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. Пер. с англ. Исковских В.А. -- М.: Мир, 1981, 597 с.

  3. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. – М.: Наука, 1972, 568 с.



в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

  1. Статья «Эллиптическая кривая» --- Википедия http:// ru.wikipedia.org/wiki/

  2. Статья «Эллиптическая криптография» --- Википедия http://ru.wikipedia.org/wiki/

  3. Соловьев Ю.П. Рациональные точки на эллиптических кривых. – Соросовский образовательный журнал. http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/424.html

  4. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. – Соросовский образовательный журнал. http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/500.html

  5. Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. М., МЦНМО, 2001.—58с. http://www.4tivo.com/education/3545-algebraicheskaja-geometrija-i-teorija.html