velikol.ru
1



5.1. Теорема о циркуляции вектора

  • В предыдущей теме было показано, что

  • взаимодействие между покоящимися

  • зарядами осуществляется через

  • электростатическое поле. Описание

  • электростатического поля мы рассматривали

  • с помощью вектора напряженности ,

  • равного силе, действующей в данной точке на

  • помещенный в неё пробный единичный

  • положительный заряд



Существует и другой способ описания поля – с

  • Существует и другой способ описания поля – с

  • помощью потенциала. Однако для этого

  • необходимо сначала доказать, что силы

  • электростатического поля консервативны, а само

  • поле потенциально.



Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным

  • Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным

  • точечным зарядом q’. В любой точке этого поля на

  • пробный точечный заряд q действует сила



  • где F(r) – модуль вектора силы , – единичный

  • вектор, определяющий положение заряда q относительно , ε0электрическая постоянная.



Для того, чтобы доказать, что

  • Для того, чтобы доказать, что

  • электростатическое поле потенциально, нужно

  • доказать, что силы электростатического поля

  • консервативны.

  • Из раздела «Физические основы механики»

  • известно, что любое стационарное поле

  • центральных сил является консервативным, т.е.

  • работа сил этого поля не зависит от формы

  • пути, а только от положения конечной и

  • начальной точек.



Вычислим работу, которую совершает

  • Вычислим работу, которую совершает

  • электростатическое поле, созданное

  • зарядом, по перемещению заряда q

  • из точки 1 в точку 2.

  • Работа на пути dl равна:

  • где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl;



Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу:

  • Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу:



Работа электростатических

  • Работа электростатических

  • сил не зависит от формы пути, а

  • только лишь от координат

  • начальной и конечной точек

  • перемещения.

  • Следовательно, силы поля

  • консервативны, а само поле –

  • потенциально.



Если в качестве пробного заряда, перенесенного из

  • Если в качестве пробного заряда, перенесенного из

  • точки 1 заданного поля в точку 2, взять

  • положительный единичный заряд q, то

  • элементарная работа сил поля будет равна:



Тогда вся работа равна:

  • Тогда вся работа равна:

  • (5.1.3)

  • Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора

  • Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути:

  • (5.1.4)

  • Это утверждение и называют теоремой о циркуляции .



Для доказательства теоремы разобьем произвольно

  • Для доказательства теоремы разобьем произвольно

  • замкнутый путь на две части: 1а2 и 2b1 (рис.5.2).

  • Из сказанного выше следует, что

  • (Интегралы по модулю равны, но знаки

  • противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:



Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных

  • Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных

  • выводов, практически не прибегая к расчетам.

  • Рассмотрим два простых примера, подтверждающих это

  • заключение.

  • Пример1. Линии электростатического поля не могут быть

  • замкнутыми. В самом деле, если это не так, и какая-то

  • линия – замкнута, то, взяв циркуляцию вдоль этой

  • линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой о

  • циркуляции вектора : . А в данном случае

  • направление интегрирования в одну сторону, поэтому

  • циркуляция вектора не равна нулю, т.е.







5.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия

  • Мы сделали заключение, что

  • электростатическое поле потенциально.

  • Следовательно, можно ввести функцию

  • состояния, зависящую от координат –

  • потенциальную энергию.



Исходя из принципа суперпозиции сил ,

  • Исходя из принципа суперпозиции сил ,

  • можно показать, что общая работа А будет равна сумме работ каждой силы:

  • (5.2.1)

  • Здесь каждое слагаемое не зависит от формы

  • пути, следовательно, не зависит от формы

  • пути и сумма.



Работу сил электростатического поля

  • Работу сил электростатического поля

  • можно выразить через убыль

  • потенциальной энергии – разность двух

  • функций состояний:

  • (5.2.2)

  • Это выражение для работы можно переписать

  • в виде (5.2.3)

  • Сопоставляя формулу (5.2.2) и (5.2.3), получаем выражение для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q:

  • (5.2.4)



5.3. Потенциал. Разность потенциалов

  • Разные пробные заряды q1, q2,… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W1, W‘2 и так далее. Однако отношение будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой собственно поля – потенциал:



Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

  • Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.



Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (5.2.4), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение:

  • Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (5.2.4), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение:

  • (3.3.2)

  • Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования.



физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.

  • физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.

  • Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.



Другое определение потенциала:

  • Другое определение потенциала:

  • т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность

  • (или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом , если q > 0.



Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем:

  • Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем:

  • (5.3.3)

  • Тогда и для потенциала или

  • (5.3.4)

  • т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

  • А вот напряженности складываются при наложении полей – векторно.



Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками:

  • Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками:

  • Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала:

  • (5.3.6)

  • где U напряжение.



Формулу можно использовать для установления единиц потенциала:

  • Формулу можно использовать для установления единиц потенциала:

  • за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.

  • В СИ единица потенциала

  • Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1 В, то есть:



5.4. Связь между напряженностью и потенциалом

  • Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l в электростатическом поле .

  • Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке можно найти так:

  • (5.4.1)



эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:



Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат:

  • Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат:

  • где i, j, k – орты осей – единичные векторы.

  • По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции

  • вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.



Коротко связь между и φ записывается так:

  • Коротко связь между и φ записывается так:

  • (3.4.4)

  • или так:

  • (3.4.5)

  • где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона.

  • Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.



5.5. Безвихревой характер электростатического поля

  • Из условия следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Действительно, по определению, имеем

  • ,

  • поскольку определитель содержит две одинаковые строки.



Величина называется ротором или вихрем

  • Величина называется ротором или вихрем

  • Мы получаем важнейшее уравнение электростатики:

  • (5.5.1)

  • Таким образом кулоновское электростатическое поле – безвихревое.



Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между контурным и поверхностным интегралами:

  • Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между контурным и поверхностным интегралами:

  • где контур L ограничивающий поверхность S, ориентация которой определяется направлением вектора положительной нормали :

  • Поэтому работа при перемещении заряда по любому замкнутому пути в электростатическом поле равна нулю.