ВАРИАНТ 11

1. 
   Найти числа , , , если
   

2. 
   При каком  вектор перпендикулярен вектору , если ==3,
   
3. 
   Показать, что четырехугольник с вершинами А(4,0,8), В(5,2,6), C(3,1,4), D(2,-1,6) является квадратом.
   
4. 
   Даны два вектора ={1,2,5}, ={3,-5,7}. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям =3, = -2.
   
5. 
   Найти (,), если =3, =26, =72
   
6. 
   Дано: В(6,3,3), C(6,4,2), D(4,1,4). Найти:
   
   1. 
      ;
      
   2. 
      центр тяжести треугольника BCD;
      
   3. 
      высоту треугольника BCD, опущенную из вершины В
      
7. 
   Дано: А(3,-2,3), В(1,2,-1), C(1,1,-3) и D(2,3,1). Найти:
   
   1. 
      высоту пирамиды ABCD, опущенную из точки С
      
   2. 
      синус внутреннего угла А в треугольнике АВС
      
   3. 
      косинус внешнего угла В в треугольнике BDC
      

ВАРИАНТ 12

1. 
   Даны середины сторон треугольника ABC: М₁(2,4), М₂(-3,0), М₃(2,1). Найти его вершины
   
2. 
   Единичные векторы e₁ и e₂ образуют угол φ. Найти φ, если векторы e₁+2e₂ и 5e₁-4e₂ перпендикулярны.
   
3. 
   Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору ={,-2,} и оси Oy
   
4. 
   Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={3,-2,1} и ={1,2,-3}, и образует острый угол с осью Oy.
   
5. 
   Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , , если =2, ,
   
6. 
   Даны три силы ={-2,1,0}, =4i-5j-k и ={-1,1,3}, приложенные к точке С(3,-2,0). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А(0,2,1).
   
7. 
   Дано: А(2,-1,-2), В(1,2,1), C(2,3,4) и D(-5,0,-6). Доказать, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Найти:
   
   1. 
      
      
   2. 
      угол между векторами
      
   3. 
      высоту треугольника ABC, опущенную из точки С
      

ВАРИАНТ 13

1. 
   Даны две вершины треугольника ABC: A(-4,-1,2), B(3,5,-16). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны AC лежит на оси Oy, а середины стороны BC на плоскости Oxz.
   
2. 
   Даны векторы , , =2, =3, . Найти проекцию вектора на вектор .
   
3. 
   Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами своих вершин A(-4,-4,4), B(-3,2,2), С(2,5,1), D(3,-2,2) взаимно перпендикулярны. Найти
   
   1. 
      внутренний угол при вершине A
      
   2. 
      периметр этого четырехугольника
      
4. 
   Найти вектор , зная, что он коллинеарен вектору ={3,0,4}, образует острый угол с осью Oх.
   
5. 
   Вычислить , если =3, =4,
   
6. 
   Даны три силы =2i-j-3k, ={3,2,-1} и = -4i+j+3k, приложенные к точке А(-1,4,2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О(2,3,-1).
   
7. 
   Дано: А(2,-1,-2), В(1,2,4), C(2,3,0) и D(5,0,-6). Показать, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Найти:
   
   1. 
      высоту пирамиды ABCD, опущенной из вершины B
      
   2. 
      угол между векторами
      

ВАРИАНТ 14

1. 
   Подобрать число  так, чтобы векторы , , были линейно зависимы.
   
2. 
   Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если =2, =3, .
   
3. 
   Даны три вектора ={1,-4,8}, ={4,4,-2}, {2,3,6}. Найти
   
   1. 
      проекцию вектора на вектор
      
   2. 
      угол между векторами
      
4. 
   В плоскости YoZ найти единичный вектор, перпендикулярный вектору ={-5,3,2} и образующий острый угол с осью Oy.
   
5. 
   Доказать, что . В каком случае имеет место знак равенства?
   
6. 
   Дано А(-2,1,1), В(0,-3,-3), О(-2,-5,-2). Найти:
   
   1. 
      высоту треугольника ABC, опущенную из вершины С
      
   2. 
      вектор, коллинеарный биссектрисе внутреннего угла А
      
7. 
   Дано: А(1,2,3), В(9,5,4), C(3,0,4) и D(5,2,6). Найти:
   
   1. 
      длину высоты пирамиды, проведенной из вершины С
      
   2. 
      угол между векторами и осью Oy
      

ВАРИАНТ 15

1. 
   Может ли вектор образовывать с осями координат углы =, =, =.
   
2. 
   Найти угол между векторами и , если =3, =2, . Единичные векторы e₁ и e₂ образуют угол φ. Найти φ, если векторы e₁+2e₂ и 5e₁-4e₂ перпендикулярны.
   
3. 
   Даны векторы ={2,1,2}, ={1,-3,2}, ={3,2,-1}. Найти:
   
   1. 
      проекцию вектора на вектор
      
   2. 
      единичный вектор биссектрисы угла между угол между и
      
4. 
   Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору ={3,-6,-1} и оси Oy и образующий острый угол с осью Оz
   
5. 
   Вычислить если , , =1, =, .
   
6. 
   Дано: А(1,-3,-3), В(1,-2,-4), C(-1,-5,-2) и D(-1,1,1). Найти:
   
   1. 
      косинус угла, образованного векторами ;
      
   2. 
      высоту треугольника ABC, опущенную из вершины В
      
7. 
   Дано: А(2,-1,-1), В(5,-1,2), C(3,0,-3) и D(13,-1,-1). Найти:
   
   1. 
      высоту пирамиды, опущенную на грань ABC
      
   2. 
      центр тяжести треугольника ABC
      
   3.