velikol.ru
1

ВАРИАНТ 11


  1. Найти числа , , , если







  1. При каком  вектор перпендикулярен вектору , если ==3,

  2. Показать, что четырехугольник с вершинами А(4,0,8), В(5,2,6), C(3,1,4), D(2,-1,6) является квадратом.

  3. Даны два вектора ={1,2,5}, ={3,-5,7}. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям =3, = -2.

  4. Найти (,), если =3, =26, =72

  5. Дано: В(6,3,3), C(6,4,2), D(4,1,4). Найти:

    1. ;

    2. центр тяжести треугольника BCD;

    3. высоту треугольника BCD, опущенную из вершины В

  6. Дано: А(3,-2,3), В(1,2,-1), C(1,1,-3) и D(2,3,1). Найти:

    1. высоту пирамиды ABCD, опущенную из точки С

    2. синус внутреннего угла А в треугольнике АВС

    3. косинус внешнего угла В в треугольнике BDC


ВАРИАНТ 12


  1. Даны середины сторон треугольника ABC: М1(2,4), М2(-3,0), М3(2,1). Найти его вершины

  2. Единичные векторы e1 и e2 образуют угол φ. Найти φ, если векторы e1+2e2 и 5e1-4e2 перпендикулярны.

  3. Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору ={,-2,} и оси Oy

  4. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={3,-2,1} и ={1,2,-3}, и образует острый угол с осью Oy.

  5. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , , если =2, ,

  6. Даны три силы ={-2,1,0}, =4i-5j-k и ={-1,1,3}, приложенные к точке С(3,-2,0). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А(0,2,1).

  7. Дано: А(2,-1,-2), В(1,2,1), C(2,3,4) и D(-5,0,-6). Доказать, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Найти:



    1. угол между векторами

    2. высоту треугольника ABC, опущенную из точки С



ВАРИАНТ 13


  1. Даны две вершины треугольника ABC: A(-4,-1,2), B(3,5,-16). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны AC лежит на оси Oy, а середины стороны BC на плоскости Oxz.

  2. Даны векторы , , =2, =3, . Найти проекцию вектора на вектор .

  3. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами своих вершин A(-4,-4,4), B(-3,2,2), С(2,5,1), D(3,-2,2) взаимно перпендикулярны. Найти

    1. внутренний угол при вершине A

    2. периметр этого четырехугольника

  4. Найти вектор , зная, что он коллинеарен вектору ={3,0,4}, образует острый угол с осью Oх.

  5. Вычислить , если =3, =4,

  6. Даны три силы =2i-j-3k, ={3,2,-1} и = -4i+j+3k, приложенные к точке А(-1,4,2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки О(2,3,-1).

  7. Дано: А(2,-1,-2), В(1,2,4), C(2,3,0) и D(5,0,-6). Показать, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Найти:

    1. высоту пирамиды ABCD, опущенной из вершины B

    2. угол между векторами



ВАРИАНТ 14


  1. Подобрать число  так, чтобы векторы , , были линейно зависимы.

  2. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если =2, =3, .

  3. Даны три вектора ={1,-4,8}, ={4,4,-2}, {2,3,6}. Найти

    1. проекцию вектора на вектор

    2. угол между векторами

  4. В плоскости YoZ найти единичный вектор, перпендикулярный вектору ={-5,3,2} и образующий острый угол с осью Oy.

  5. Доказать, что . В каком случае имеет место знак равенства?

  6. Дано А(-2,1,1), В(0,-3,-3), О(-2,-5,-2). Найти:

    1. высоту треугольника ABC, опущенную из вершины С

    2. вектор, коллинеарный биссектрисе внутреннего угла А

  7. Дано: А(1,2,3), В(9,5,4), C(3,0,4) и D(5,2,6). Найти:

    1. длину высоты пирамиды, проведенной из вершины С

    2. угол между векторами и осью Oy



ВАРИАНТ 15


  1. Может ли вектор образовывать с осями координат углы =, =, =.

  2. Найти угол между векторами и , если =3, =2, . Единичные векторы e1 и e2 образуют угол φ. Найти φ, если векторы e1+2e2 и 5e1-4e2 перпендикулярны.

  3. Даны векторы ={2,1,2}, ={1,-3,2}, ={3,2,-1}. Найти:

    1. проекцию вектора на вектор

    2. единичный вектор биссектрисы угла между угол между и

  4. Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору ={3,-6,-1} и оси Oy и образующий острый угол с осью Оz

  5. Вычислить если , , =1, =, .

  6. Дано: А(1,-3,-3), В(1,-2,-4), C(-1,-5,-2) и D(-1,1,1). Найти:

    1. косинус угла, образованного векторами ;

    2. высоту треугольника ABC, опущенную из вершины В

  7. Дано: А(2,-1,-1), В(5,-1,2), C(3,0,-3) и D(13,-1,-1). Найти:

    1. высоту пирамиды, опущенную на грань ABC

    2. центр тяжести треугольника ABC