На стороне BC треугольника ABC взята точка D такая, что 
CAD = 2 
DAB . Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ADC и ADB , равны соответственно 8 и 4, а расстояние между точками касания этих окружностей с прямой BC равно 
. Найдите AD . Пусть O 1 и O 2 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD соответственно, M и N —точки их касания соответственно с стороной BC , P и Q — точки касания соответственно с отрезком AD . Пусть 
BAD = 2 
, 
ADO 2 = 
. Тогда 
DAO 1 = 
, 
DAO 2 = 2 
, 
ADO 1 = 90 o — 
. Используя тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках DPO 1 и DQO 2 , сотавьте систему уравнений относительно x = DM = DQ и y = DN = DQ . Пусть O 1 и O 2 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD соответственно, M и N —точки их касания соответственно с стороной BC , P и Q — точки касания соответственно с отрезком AD . Пусть 
BAD = 2 
, 
ADO 2 = 
. Тогда 
DAO 1 = 
, 
DAO 2 = 2 
, 
ADO 1 = 90 o — 
( 
O 1 DO 2 = 90 o как угол между биссектрисами внешних углов). Из прямоугольных треугольников APO 1 и AQO 2 находим, что AP = O 1 P 
= 4 
и AQ = O 2 Q 
2 
= 8 
2 
. Тогда PQ = AP — AQ = 4 
— 8 
2 
= 
— 
= 4 
> 0. Отсюда, в частности, следует, что точка Q лежит между A и P , поэтому DP < DQ . Из прямоугольных треугольников DPO 1 и DQO 2 находим, что DP = O 1 P 
(90 o — 
) = 4 
и DQ = O 2 Q 
= 8 
. Обозначим DP = x и DQ = y . Тогда x + y = DP + DQ = DM + DN = MN = 
и xy = 4 
. 8 
= 32. Решая систему 
находим, что x = 
, y = 
. Тогда PQ = DQ — DP = y — x = 1. Ранее было установлено, что PQ = 4 
, поэтому 
= 
. Следовательно, AQ = 
= 
= 16 
1 — 
= 15, откуда AD = AQ + QD = 15 + 
= 
.
Ответ
$frac{sqrt{129}+ 31}{2}$ —> 
.