У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника? Первое решение . Сначала докажем, что в каждой вершине многогранника сходятся три грани. Рассмотрим произвольный трёхгранный угол. Двойственным к нему называется трёхгранный угол, рёбра которого перпендикулярны граням данного. Очевидно, что сумма любого двугранного угла данного трёхгранного угла с соответствующим плоским углом двойственного равна p . Так как сумма плоских углов двойственного угла меньше 2 p , сумма двугранных углов данного больше p . Поскольку n -гранный угол можно разрезать на n -2 трёхгранных, то сумма его двугранных углов больше, чем p ( n -2), т. е. хотя бы один из них больше p (1-(2/ n )). Так как при n >3 выполнено неравенство 1-(2/ n ) > 1/2, в вершине данного многогранника не может сходиться больше трёх рёбер. Докажем теперь, что если двугранные углы трёхгранного угла острые, то плоские тоже острые. Перейдя к двойственному углу, получим равносильное утверждение: если все плоские углы тупые, то двугранные тоже тупые. Предположим, что для трёхгранного угла OABC это не так, и угол при ребре OC не тупой. Поскольку углы AOC и BOC тупые, то основания перпендикуляров, опущенных из A и B на прямую OC , лежат вне луча OC . Возьмём точки A и B так, чтобы эти перпендикуляры имели общее основание D . Тогда / ADB