Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма? Пусть a , b , c , d — четыре попарно скрещивающиеся прямые. Построим такие плоскости 
a и 
b , что параллельна (рис.). 
Аналогично, построим такие плоскости 
c и 
d , что параллельна . Рассмотрим произвольное направление 
, не параллельное никакой из этих плоскостей. Спроецируем прямую a на плоскость вдоль этого направления. Обозначим через B точку пересечения проекции и прямой b , а через A 
a ее прообраз при проецировании, тогда прямая AB параллельна направлению . Аналогично строятся точки C c и D d , для которых прямая CD параллельна направлению . Тогда прямая AB параллельна CD , поэтому либо точки A , B , C и D лежат на одной прямой, либо четырехугольник ABCD — трапеция, либо четырехугольник ABCD — параллелограмм. Основная сложность состоит в том, чтобы исключить случай точек, лежащих на одной прямой. Пусть, сначала, плоскости и не параллельны. 1 o . Начнем издалека. Рассмотрим поверхность H , заданную в пространстве уравнением
x 2 + y 2 — z 2 = 1.
Эта поверхность называется однополостным гиперболоидом. Ее пересечение с плоскостью z = 0 есть окружность. Оказывается, через каждую точку этой окружности проходят ровно две прямые, целиком лежащие на H (рис.). Читатель может попытаться проверить это и последующие утверждения в координатах. 
Оказывается, такие прямые (они называются образующими) разбиваются на два семейства: прямые одного семейства скрещиваются, а разных — пересекаются. Кроме того, никаких других прямых на гиперболоиде нет. Заметим также, что если все эти прямые параллельно перенести в начало координат, то они перейдут в образующие конуса x 2 + y 2 — z 2 = 0. 2 o . Можно показать (попробуйте), что любые три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, можно перевести аффинным преобразованием в любые другие три прямые, удовлетворяющие тем же условиям. Плоскости и не параллельны, поэтому, переобозначив при необходимости прямые, можно считать, что прямые a , b и c не параллельны одной плоскости. Теперь возьмем любые три образующие (из одного семейства) a’ , b’ , c’ на H . Нетрудно проверить, что они не параллельны одной плоскости, значит, аффинным преобразованием можно перевести их в a , b и c . Но наша задача инвариантна относительно аффинных преобразований, поэтому можно с самого начала считать, что прямые a , b и c лежат на H . Они принадлежат одному семейству образующих, которое мы будем называть первым. Нетрудно видеть, что прямая либо лежит на гиперболоиде, либо пересекает его не более, чем в двух точках. Значит, прямые, пересекающие каждую из прямых a , b и c , — это в точности образующие H из второго семейства. Поэтому возможны две ситуации: 1) прямая d лежит на H , тогда каждая из образующих второго семейства пересекает все прямые a , b , c , d , и 2) прямая d пересекает H не более, чем в двух точках, тогда прямых, пересекающих каждую из прямых a , b , c , d , не более двух. Теперь потребуем, чтобы направление было параллельно плоскости z = 0. Так как ни одна из образующих не параллельна этой плоскости, точки A , B , C и D не будут лежать на одной прямой. 3 o . Чтобы исключить случай параллелограмма, достаточно обеспечить неравенство AB 
CD . Заметим, что AB = 
и CD = 
, где p — расстояние между плоскостями и , q — расстояние между плоскостями и , 
— угол между направлением и плоскостью , 
— угол между направлением и плоскостью . Итак, достаточно, чтобы выполнялось неравенство sin 
< 
sin 
. Пусть f — прямая пересечения плоскости и плоскости z = 0. Пусть сначала f не параллельна плоскости . Если взять вектор параллельным прямой f , то = 0, 0. Если этот вектор чуть-чуть пошевелить так, чтобы он оставался параллельным плоскости z = 0, то условие (*) сохранится в силу непрерывности, и соответствующие точки A , B , C и D будут вершинами трапеции. Если f параллельна плоскости , то рассмотрим любую такую плоскость 
, что угол между ней и плоскостью z = 0 меньше, чем 
/4, и прямая 
не параллельна плоскости . Можно убедиться, что такая плоскость тоже не параллельна ни одной из образующих (достаточно проверить, что угол между любой из образующих и плоскостью z = 0 равен /4). Осталось повторить предыдущую конструкцию с плоскостью вместо плоскости z = 0. 4 o . Пусть теперь все плоскости , , , параллельны, тогда = для любого направления , и для выполнения 
неравенства AB CD достаточно неравенства p q , которого всегда можно добиться, переобозначив прямые. Чтобы точки A , B , C и D не лежали на одной прямой, поступим следующим образом. Рассмотрим гиперболический параболоид xy = z (рис.). На нем тоже имеется два семейства образующих, причем образующие одного семейства параллельны плоскости x = 0, а образующие другого — плоскости y = 0. Пусть плоскости 
, 
и 
параллельны плоскости x = 0, а расстояния между ними такие же, как и между плоскостями , и . Каждая из этих плоскостей высекает прямую на параболоиде. Нетрудно видеть, что аффинным преобразованием можно перевести прямые a , b и c в соответствующие прямые на параболоиде. Итак, можно считать, что прямые a , b и c являются образующими параболоида. Теперь достаточно взять вектор не параллельным ни одной из плоскостей x = 0, y = 0. Комментарий. Другой способ борьбы с параллелограммами и точками на одной прямой состоит в доказательстве того, что и тех, и других в некотором смысле «мало». Например, искушенный читатель может попытаться доказать, что «плохие» векторы образуют множество меры нуль. б) Возьмем четыре параллельные плоскости, все попарные расстояния между которыми различны. В каждой из них проведем прямую таким образом, чтобы эти прямые попарно скрещивались. Докажем, что параллелограмма с вершинами на этих прямых не существует. Действительно, длины любых двух параллельных отрезков с концами на этих прямых пропорциональны расстояниям между соответствующими парами плоскостей, а значит, различны.