Решение
Первый способ. Введем в пространстве координаты и рассмотрим координатные плоскости 
, 
и 
, заданные уравнениями x = 0, y = 0 и z = 0 соответственно. Рассмотрим шар B, заданный неравенством x2 + y2 + z2
1. Его проекция на плоскость 
— круг радиуса 1 с центром в начале координат. Множество точек, которые проецируются в этот круг, представляет собой цилиндр (обозначим его C1), который задается неравенством x2 + y2
1. Аналогично определим цилиндры C2 и C3, как множества точек, которые проецируются в единичные круги с центрами в начале координат, лежащие в плоскостях 
и 
соответственно.
Пусть C — пересечение цилиндров C1, C2 и C3. Мы утверждаем, что C — требуемое тело. Оно выпукло, так как пересечение выпуклых множеств выпукло.
Покажем, что проекции тела C на плоскости 
, 
и 
— круги. Рассмотрим, например, плоскость 
. Проекция тела C на эту плоскость содержится в единичном круге, так как проекция цилиндра C1 совпадает с единичным кругом, а C содержится в C1. С другой стороны, этот единичный круг содержится в теле C, значит, проекция содержит круг. Итак, проекция тела C на плоскость 
содержит единичный круг и содержится в единичном круге, а, значит, совпадает с ним.
Осталось доказать, что тело C не является шаром. Точка 
,
,
содержится в каждом из цилиндров C1, C2 и C3 (например, x2 + y2 = 
+ 
1), так что эта точка содержится в C. С другой стороны, она не принадлежит единичному шару — расстояние от нее до начала координат равно
= 
> 1. Поэтому C
B.
Остается один вопрос, который может показаться глупым: а не может ли C оказаться шаром, отличным от B? Нетрудно видеть, что не может: проекции тела C на плоскости 
, 
и 
такие же как у шара B, но ясно, что два шара, имеющие одинаковые проекции на координатные плоскости, совпадают (проверьте!).
Второй способ. [набросок] Рассмотрим шар и его проекции на три плоскости. Пусть некоторая точка A сферы не проецируется ни на одну из границ проекций. Тогда некоторый круг с центром в точке A обладает тем же свойством. Отрежем от шара соответствующий кусочек — получим фигуру, не являющуюся шаром, но дающую те же самые проекции на рассматриваемые плоскости.