Подсказка
Площадь проекции грани единичного куба на плоскость равна длине проекции перпендикулярного этой грани ребра на прямую, перпендикулярную плоскости.
Решение
Обозначим через p и l плоскость и перпендикулярную ей прямую, на которые проектируется куб. Нетрудно видеть, что площадь проекции куба на плоскость p равна равна сумме площадей проекций трех попарно перпендикулярных граней, а длина проекции куба на прямую l равна сумме длин проекций трех попарно перпендикулярных ребер. Однако угол между плоскостью некоторой грани куба и плоскостью p равен углу между перпендикулярным этой грани ребром и прямой l, а значит, площадь проекции этой грани на p равна длине прокции ребра на l (поскольку при ортогональной проекции площадь грани и длина ребра умножаются на косинусы соответсвующих углов). Сложив соответствующие равенства для трех попарно перпендикулярных граней куба, получим требуемое.