Произвольный четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника; площади трех из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвертого треугольника. Найдите площадь данного четырехугольника. Если M — точка пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD , то S ( AMB )/ S ( AMD ) = S ( BMC )/ S ( DMC ). Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD . Если
S ( AMD ) = 30, S ( AMB ) = 10, S ( CMD ) = 20,
то
BM / MD = S ( AMB )/ S ( AMD ) = 1/3и
S ( BMC ) = (1/3) . S ( CMD ) = 20/3 < 10.
Разбирая остальные возможные случаи, убеждаемся, что возможны только два из них: S ( AMB ) = 20, S ( AMD ) = 10, S ( CMD ) = 30 или
S ( AMB ) = 30, S ( AMD ) = 10, S ( CMD ) = 20.
В каждом из возможных случаев S ( BMC ) = 60. Следовательно, S ( ABCD ) = 10 + 20 + 30 + 60 = 120.
Ответ
120.