В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они равны. Проведём через прямую AB плоскость, параллельную прямой CD . Пусть C’ и D’ — проекции точек C и D на эту плоскость. Покажем, что прямая AB делит отрезок C’D’ пополам. Действительно, проекция тетраэдра ABCD на плоскость, перпендикулярную прямой AB , представляет собой равнобедренный треугольник, поскольку две его стороны равны высотам (равновеликих) треугольников ACB и ADC , опущенных из вершин C и D на сторону AB . Аналогично доказывается, что прямая CD делит пополам проекцию ребра AB на плоскость, проходящую через прямую CD параллельно прямой AB . Таким образом, AC’BD’ — параллелограмм. Из равенства BC’ = AD’ следует равенство BC = AD . Равенства длин остальных пар противоположных рёбер доказываются аналогично.