Решение
Пусть O — центр симметрии многоугольника M, расположенного внутри треугольника T, S(T) — образ треугольника T при симметрии относительно точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T). Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет пересечение T и S(T). Точка O лежит внутри треугольника T, так как пересечением T и S(T) является выпуклый многоугольник, а выпуклый многоугольник всегда содержит свой центр симметрии. Пусть A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника T = ABC. Предположим сначала, что точка O лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда пересечением T и S(T) является шестиугольник. Пусть сторона AB делится сторонами треугольника S(T) в отношении x : y : z, где x + y + z = 1. Тогда отношение суммы площадей треугольников, прилегающих к вершинам A, B, C, к площади треугольника ABC равно x2 + y2 + z2; нужно минимизировать это выражение. Так как 1 = (x + y + z)2 = 3(x2 + y2 + z2) — (x — y)2 — (y — z)2 — (z — x)2, то x2 + y2 + z2
1/3, причем равенство достигается только при x = y = z; последнее равенство означает, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Рассмотрим теперь другой случай: точка O лежит внутри одного из треугольников AB1C1, ABC1, A1B1C, например внутри AB1C1. В этом случае пересечением T и S(T) является параллелограмм, причем если мы заменим точку O точкой пересечения прямых AO и B1C1, то площадь этого параллелограмма может только увеличиться. Если же точка O лежит на стороне B1C1, то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить x = 0). Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих стороны треугольника на три равные части. Его площадь равна 2/3 площади треугольника.