Все рёбра треугольной пирамиды равны a . Найти наибольшую площадь, которую может иметь ортогональная проекция этой пирамиды на плоскость. Ответ: a 2 /2. Проекция тетраэдра может быть треугольником или четырехугольником. В первом случае она является проекцией одной из граней, поэтому ее площадь не превосходит 
a 2 /4. Во втором случае диагонали четырехугольника являются проекциями рёбер тетраэдра, поэтому площадь ортогональной проекции, равная половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними, не превосходит a 2 /2; равенство достигается, когда пара противоположных рёбер тетраэдра параллельна данной плоскости. Остаётся заметить, что 
a 2 /4 < a 2 /2.