Решение
Заметим сначала, что задача а) является частным случаем задачи б). Поэтому мы будем решать задачу б). Пусть vi — вектор, перпендикулярный i-й грани тетраэдра, направленный внутрь тетраэдра и равный по модулю площади этой грани, p — вектор, перпендикулярный плоскости данного треугольника и равный по модулю его площади (один из двух). Тогда, по формуле для площади проекции многоугольника, PiSi = |(p, vi)|.
Лемма. v1 + v2 + v3 + v4 = 0.
Доказательство. Пусть v — некоторый вектор единичной длины, α — перпендикулярная ему плоскость. Тогда число (v, v1 + v2 + v3 + v4) равно сумме площадей проекций граней тетраэдра на плоскость α, где площадь берётся со знаком «+», если при проекции ориентация не меняется и со знаком «−» в противном случае. А эта сумма площадей равна нулю. Следовательно, для любого вектора v число (v, v1 + v2 + v3 + v4) равно нулю. А значит, v1 + v2 + v3 + v4 = 0.
Следовательно, P1S1 = |(p, v1)| = |(p, v2) + (p, v3) + (p, v3)| ≤ |(p, v2)| + |p, v3)| + |(p, v3)| = P2S2 + P3S3 + P4S4, что и требовалось доказать.