Будем называть «размером» прямоугольного параллелепипеда сумму трех его измерений — длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
Решение
Пусть мы имеем прямоугольный параллелепипед P«, лежащий внутри прямоугольного параллелепипеда P. Тогда сумма проекций трёх взаимно перпендикулярных рёбер параллелепипеда P» на любое ребро параллелепипеда P не превосходит длины этого ребра. Действительно, проекция внутреннего параллелепипеда на любое ребро внешнего есть отрезок, концы которого — это проекции двух противоположных вершин. От одной из них до другой можно пройти по трём взаимно перпендикулярным рёбрам. Поэтому рассматриваемая проекция равна сумме проекций этих трёх рёбер и при этом, очевидно, она не больше чем длина ребра, на которое мы проецируем.
Обозначим рёбра внешнего параллелепипеда P через a, b и c, а внутреннего параллелепипеда P» — через a«, b» и c«. Имеем:
pra(a«) + pra(b«) + pra(c«) ≤ a,
prb(a«) + prb(b«) + prb(c«) ≤ b,
prc(a«) + prc(b«) + prc(c«) ≤ c. Сложив эти три неравенства, получим:
s ≤ a + b + c, (*)
где s — сумма проекций всех рёбер параллелепипеда P» на все рёбра параллелепипеда P. С другой стороны, длина любого отрезка не превосходит суммы его проекций на три взаимно перпендикулярных направления. Поэтому
a» ≤ pra(a«) + prb(a«) + prc(a«),
b» ≤ pra(b«) + prb(b«) + prc(b«),
c» ≤ pra(c«) + prb(c«) + prc>(c«). Сложим эти неравенства:
a» + b» + c» ≤ s. (**)
Сопоставляя (*) и (**), получаем:
a» + b» + c» ≤ a + b + c,
а это значит, что размер внутреннего параллелепипеда не больше размера внешнего. Нет, не может.