На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы «Г»» . Концы коротких палочек у букв «Г»» обозначим через A и A». Длинные палочки разделены на n равных частей точками a1, …, an — 1; a»1, …, a»n — 1 (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa1, Aa2, …, Aan — 1; A»a1, A»a»2, …, A»a»n — 1. Точку пересечения прямых Aa1 и A»a1 обозначим через X1, прямых Aa2 и A»a2 — через X2 и т.д. Доказать, что точки X1, X2, …, Xn — 1 образуют выпуклый многоугольник.
Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.
Решение
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение. Пусть поворот с центром O переводит прямую l1 в прямую l2, а точку A1, лежащую на прямой l1, — в точку A2. Тогда точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на описанной окружности треугольника A1OA2. Действительно, пусть P — точка пересечения прямых l1 и l2. Тогда 
(OA1, A1P) = 
(OA1, l1) = 
(OA2, l2) = 
(OA2, A2P). Поэтому точки O, A1, A2 и P лежат на одной окружности. Одинаковые буквы «Г»» можно совместить поворотом с некоторым центром O (если они совмещаются параллельным переносом, то Aai || A»ai«). Согласно только что доказанному вспомогательному утверждению точка Xi лежит на описанной окружности треугольника A»OA. Ясно, что точки, лежащие на одной окружности, образуют выпуклый многоугольник.