о нашей школе

    45 лет назад наша школа распахнула двор свом ученикам. За эти годы  школу окончило более 3000 человек.   oС золотой медалью окончило школу 36 учащихся, с серебряной – 20. Более 28 наших выпускников сейчас работают в школах города. Среди выпускников […]

Читать далее →

Задача No. 105066

Скрыть решение Решение а) Достаточно провести прямую через середину дуги и середину ломаной BAC. б) Пусть A – вершина угла, B и C – концы дуги, D – ее середина. Сегменты, опирающиеся на хорды BD и DC, равны. Поэтому достаточно […]

Читать далее →

Задача No. 79397

Скрыть решение Решение Докажем сначала, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P. Построим на сторонах многоугольника внутренним образом прямоугольники со второй стороной R = S/P. Они покроют не весь многоугольник (эти прямоугольники перекрываются […]

Читать далее →

Задача No. 79621

Скрыть решение Решение Пусть O — центр симметрии, A — одна из наиболее удалённых от O вершин многоугольника, B — вершина, симметричная A относительно O. Восставим к прямой AB перпендикуляр lA в точке A, перпендикуляр lO в точке O и перпендикуляр lB в […]

Читать далее →

Задача No. 79377

Скрыть решение Решение Пусть стороны выпуклого n-угольника лежат на диагоналях данного 100-угольника. Для каждой стороны n — угольника рассмотрим диагональ, на которой она лежит, и отметим её концы. Всего будет отмечено 2n точек. Из каждой вершины данного 100-угольника выходит не более двух […]

Читать далее →

Задача No. 79310

Скрыть решение Решение Ответ: при всех n ≥ 2. Впишем в арену правильный k-угольник, где k — число различных пар, которые можно составить из n прожекторов, т.е. k = n(n − 1)/2. Тогда можно установить взаимно однозначное соответствие между сегментами, […]

Читать далее →

Задача No. 79308

Скрыть решение Решение Ответ: нет, нельзя. Предположим, что выпуклый многоугольник M разрезан на невыпуклые четырёхугольники M1, …, Mn. Каждому многоугольнику N поставим в соответствие число f (N), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших 180o, и суммой углов, дополняющих до 360o […]

Читать далее →

Задача No. 79287

Скрыть решение Решение Количество диагоналей 2n-угольника равно 2n(2n − 3)/2 = n(2n − 3). Легко проверить, что диагоналей, параллельных данной стороне, не более n − 2. Поэтому всего диагоналей, параллельных сторонам, не более 2n(n − 2). А так как 2n(n […]

Читать далее →

Задача No. 78821

Скрыть решение Решение Итак, имеется несамопересекающийся невыпуклый n-угольник P. Рассмотрим множество T его внутренних точек, из которых видны все вершины P. Докажем, что T — выпуклый многоугольник, число сторон которого не больше n. Каждой стороне AB многоугольника P поставим в соответствие полуплоскость, граница […]

Читать далее →