Решение
Ответ: k = 1 или 0. Лемма.Пусть точка O лежит в треугольнике 
ABC, причём точки A, B, C, O удовлетворяют условию задачи. Тогда точка O является центром описанной окружности треугольника 
ABC. Доказательство леммы. Рассмотрим треугольник 
ABC, по условию задачи он является равнобедренным. Предположим, что AB = BC, тогда заметим, что BO < AB и BO < BC. По условию задачи треугольники 
ABO и 
BCO равнобедренные, а значит, OB = OA и OB = OC. Получили, что OA = OB = OC, а значит, O является центром окружности, описанной вокруг треугольника 
ABC.
Докажем, что k
1, индукцией по n. Если n = 3, то все k точек лежат внутри треугольника и по лемме все совпадают с центром описанной окружности этого треугольника. Получаем, что k
1. Если n
4, то в данном n-угольнике есть прямой или тупой угол 
Ai — 1AiAi + 1. По доказанной лемме, внутри треугольника Ai — 1AiAi + 1 не может лежать ни одной из k точек. Следовательно, отрезав от нашего многоугольника треугольник Ai — 1AiAi + 1, получим (n — 1)-угольник, внутри которого лежит k точек. По предположению индукции, k
1. Итак, k
1. Пример для k = 0 очевиден. Для k = 1 достаточно взять равнобедренный треугольник с центром его описанной окружности.