Решение
Докажем сначала, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P. Построим на сторонах многоугольника внутренним образом прямоугольники со второй стороной R = S/P. Они покроют не весь многоугольник (эти прямоугольники перекрываются и могут вылезать за его пределы, а сумма их площадей равна площади многоугольника). Непокрытая точка удалена ото всех сторон многоугольника больше, чем на R, поэтому круг радиуса R с центром в этой точке целиком лежит внутри многоугольника.
Таким образом, во внутренний многоугольник можно поместить круг радиуса S2/P2. Ясно, что этот круг лежит внутри внешнего многоугольника. Остаётся доказать, что если внутри многоугольника лежит круг радиуса R, то R ≤ 2S/P. Для этого соединим центр O круга с вершинами. Тогда многоугольник разобьётся на треугольники с площадями hiai/2, где hi — расстояние от точкиO до i-й стороны, а ai — длина i-й стороны. Так как hi ≥ R, то 2S = 
hiai ≥ 
Rai = RP.